| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Задача Коши уравнение в частных производных http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=37055 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | fisher74 [ 26 ноя 2014, 23:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Задача Коши уравнение в частных производных |
Повторюсь: заочник с начиткой лекций стремящихся к нулю. Нужно научиться решать задачи, хотя бы на тех, что выдали. Дано. [math]U_{xx}-2U_{xy}-3U_{yy}=0[/math] При начальных условиях [math]U(x,0)=3x^2[/math] [math]U_y(x,0)=0[/math] Как я понял нужно привести уравнение к каноническому виду. Поехали Решение На самом деле, когда начинал писать была проблема с самим переводом к каноническому виду (гиперболический тип) Но пока писал на "птичьем" языке, нашёл ошибку в черновике и всё-таки вышел на правильный вид. Получилось при подмене новыми переменными [math]\xi = y+3x, \eta = y-x[/math] [math]U_{\xi\eta}=0[/math] Признаться, даже не много опешил от такой "простоты", но перепроверил 2 раза - так и есть. Что с этим дальше делать, что-то не вкуриваю. Толкните... |
|
| Автор: | fisher74 [ 26 ноя 2014, 23:38 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача Коши уравнение в частных производных |
[math]\xi(x,0) = y+3x[/math] [math]\xi(x,0) = 3x[/math] [math]\eta (x,0) = y-x[/math] [math]\eta (x,0) = -x[/math] Не уверен, что правильный путь.... Да и дороги не вижу... |
|
| Автор: | Prokop [ 27 ноя 2014, 17:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача Коши уравнение в частных производных |
Из равенства [math]{U_{\xi \eta}}= 0[/math] следует, что [math]U = f\left( \xi \right) + g\left( \eta \right)[/math] Поэтому [math]u\left({x,y}\right) = f\left({y + 3x}\right) + g\left({y - x}\right)[/math] Далее [math]{u_y}\left({x,y}\right) = f'\left({y + 3x}\right) + g'\left({y - x}\right)[/math] Положим [math]y=0[/math]. Получим систему уравнений для нахождения функций [math]f[/math] и [math]g[/math] [math]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{f\left({3x}\right) + g\left({- x}\right) = 3{x^2}}\\{f'\left({3x}\right) + g'\left({- x}\right) = 0}\end{array}}\right.[/math] Далее, надо проинтегрировать второе уравнение. Получим [math]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{f\left({3x}\right) + g\left({- x}\right) = 3{x^2}}\\{\frac{1}{3}f\left({3x}\right) - g\left({- x}\right) = C}\end{array}}\right.[/math] Осталось аккуратно решить линейную систему уравнений и найти функции [math]f[/math] и [math]g[/math] |
|
| Автор: | fisher74 [ 27 ноя 2014, 22:12 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача Коши уравнение в частных производных |
Спасибо огромное. Всё понял. Логика решения теперь понятна. Респект и уважуха. |
|
| Автор: | fisher74 [ 27 ноя 2014, 23:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача Коши уравнение в частных производных |
[math]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{f\left({3x}\right) + g\left({- x}\right) = 3{x^2}}\\{f\left({3x}\right) - 3g\left({- x}\right) = C}\end{array}}\right.[/math] [math]4g\left({- x}\right) = 3{x^2} + C[/math] [math]g(-x)=\frac{3x^2}{4}+ C[/math] Определим f(3x) [math]f(3x) + (\frac{3x^2}{4}+ C) = 3x^2[/math] [math]f(3x) = 3x^2 - \frac{3x^2}{4} + C[/math] [math]f(3x) = \frac{12x^2}{4} - \frac{3x^2}{4} + C[/math] [math]f(3x) = \frac{9x^2}{4} + C[/math] Я правильно понимаю, что [math]g(x)=\frac{3x^2}{4}+ C[/math] [math]f(x) = \frac{x^2}{4} + C[/math] ? Пробую подставить [math]U(x,0) = \frac{9x^2}{4} + \frac{3x^2}{4} + C[/math] [math]U(x,0) = \frac{12x^2}{4} + C[/math] [math]U(x,0) = 3x^2 + C[/math] Выходит, что C = 0 И снова в тупике, хоть стреляйте. |
|
| Автор: | Prokop [ 27 ноя 2014, 23:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача Коши уравнение в частных производных |
Ошибка в знаке. [math]f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{4}- C[/math] Далее, [math]u\left({x,y}\right) = f\left({y + 3x}\right) + g\left({y - x}\right) = \frac{{{{\left({y + 3x}\right)}^2}}}{4}- C + \frac{3}{4}{\left({y - x}\right)^2}+ C = 3{x^2}+{y^2}[/math] |
|
| Автор: | fisher74 [ 27 ноя 2014, 23:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача Коши уравнение в частных производных |
Ну ошибка практически преднамеренная, так как отложилось, что С может быть любого знака. Только не учёл, что для обеих функций его нужно сохранять. По финальному аккорду решения: Ещё раз спасибо. Но что-то непонятно как это получилось... Точнее что куда встало понятно, но не понял как это происходит. Сижу, пытаюсь осмыслить. Вроде прорисовывается, но кажется костылём. f(x) есть f(x,y), поэтому.... Вроде осознал. Спасибо. Тему можно закрывать. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|