Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задача Коши уравнение в частных производных
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=37055
Страница 1 из 1

Автор:  fisher74 [ 26 ноя 2014, 23:23 ]
Заголовок сообщения:  Задача Коши уравнение в частных производных

Повторюсь: заочник с начиткой лекций стремящихся к нулю. Нужно научиться решать задачи, хотя бы на тех, что выдали.

Дано.
[math]U_{xx}-2U_{xy}-3U_{yy}=0[/math]
При начальных условиях
[math]U(x,0)=3x^2[/math]
[math]U_y(x,0)=0[/math]

Как я понял нужно привести уравнение к каноническому виду.
Поехали
Решение

На самом деле, когда начинал писать была проблема с самим переводом к каноническому виду (гиперболический тип)
Но пока писал на "птичьем" языке, нашёл ошибку в черновике и всё-таки вышел на правильный вид.
Получилось
при подмене новыми переменными
[math]\xi = y+3x, \eta = y-x[/math]
[math]U_{\xi\eta}=0[/math]

Признаться, даже не много опешил от такой "простоты", но перепроверил 2 раза - так и есть.

Что с этим дальше делать, что-то не вкуриваю.
Толкните...

Автор:  fisher74 [ 26 ноя 2014, 23:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача Коши уравнение в частных производных

[math]\xi(x,0) = y+3x[/math]
[math]\xi(x,0) = 3x[/math]

[math]\eta (x,0) = y-x[/math]
[math]\eta (x,0) = -x[/math]

Не уверен, что правильный путь.... Да и дороги не вижу...

Автор:  Prokop [ 27 ноя 2014, 17:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача Коши уравнение в частных производных

Из равенства
[math]{U_{\xi \eta}}= 0[/math]
следует, что
[math]U = f\left( \xi \right) + g\left( \eta \right)[/math]
Поэтому
[math]u\left({x,y}\right) = f\left({y + 3x}\right) + g\left({y - x}\right)[/math]
Далее
[math]{u_y}\left({x,y}\right) = f'\left({y + 3x}\right) + g'\left({y - x}\right)[/math]
Положим [math]y=0[/math]. Получим систему уравнений для нахождения функций [math]f[/math] и [math]g[/math]
[math]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{f\left({3x}\right) + g\left({- x}\right) = 3{x^2}}\\{f'\left({3x}\right) + g'\left({- x}\right) = 0}\end{array}}\right.[/math]
Далее, надо проинтегрировать второе уравнение. Получим
[math]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{f\left({3x}\right) + g\left({- x}\right) = 3{x^2}}\\{\frac{1}{3}f\left({3x}\right) - g\left({- x}\right) = C}\end{array}}\right.[/math]
Осталось аккуратно решить линейную систему уравнений и найти функции [math]f[/math] и [math]g[/math]

Автор:  fisher74 [ 27 ноя 2014, 22:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача Коши уравнение в частных производных

Спасибо огромное.
Всё понял. Логика решения теперь понятна.
Респект и уважуха.

Автор:  fisher74 [ 27 ноя 2014, 23:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача Коши уравнение в частных производных

[math]\left\{{\begin{array}{*{20}{c}}{f\left({3x}\right) + g\left({- x}\right) = 3{x^2}}\\{f\left({3x}\right) - 3g\left({- x}\right) = C}\end{array}}\right.[/math]
[math]4g\left({- x}\right) = 3{x^2} + C[/math]
[math]g(-x)=\frac{3x^2}{4}+ C[/math]

Определим f(3x)
[math]f(3x) + (\frac{3x^2}{4}+ C) = 3x^2[/math]
[math]f(3x) = 3x^2 - \frac{3x^2}{4} + C[/math]
[math]f(3x) = \frac{12x^2}{4} - \frac{3x^2}{4} + C[/math]
[math]f(3x) = \frac{9x^2}{4} + C[/math]

Я правильно понимаю, что
[math]g(x)=\frac{3x^2}{4}+ C[/math]
[math]f(x) = \frac{x^2}{4} + C[/math]
?

Пробую подставить
[math]U(x,0) = \frac{9x^2}{4} + \frac{3x^2}{4} + C[/math]
[math]U(x,0) = \frac{12x^2}{4} + C[/math]
[math]U(x,0) = 3x^2 + C[/math]
Выходит, что C = 0

И снова в тупике, хоть стреляйте.

Автор:  Prokop [ 27 ноя 2014, 23:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача Коши уравнение в частных производных

Ошибка в знаке.
[math]f\left( x \right) = \frac{{{x^2}}}{4}- C[/math]
Далее,
[math]u\left({x,y}\right) = f\left({y + 3x}\right) + g\left({y - x}\right) = \frac{{{{\left({y + 3x}\right)}^2}}}{4}- C + \frac{3}{4}{\left({y - x}\right)^2}+ C = 3{x^2}+{y^2}[/math]

Автор:  fisher74 [ 27 ноя 2014, 23:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача Коши уравнение в частных производных

Ну ошибка практически преднамеренная, так как отложилось, что С может быть любого знака.
Только не учёл, что для обеих функций его нужно сохранять.

По финальному аккорду решения:
Ещё раз спасибо. Но что-то непонятно как это получилось... Точнее что куда встало понятно, но не понял как это происходит.
Сижу, пытаюсь осмыслить. Вроде прорисовывается, но кажется костылём.

f(x) есть f(x,y), поэтому....
Вроде осознал. :o
Спасибо. Тему можно закрывать.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/