Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Нестыковка в ответе к линейному неоднородному ДУ
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=36804
Страница 1 из 1

Автор:  tetroel [ 17 ноя 2014, 17:49 ]
Заголовок сообщения:  Нестыковка в ответе к линейному неоднородному ДУ

Добрый день.

Возникла такая вот проблема при попытке решить данное линейное неоднородное дифференциальное уравнение
[math]y''-6 y'+34 y=53 e^{3 x} \sin(5 x)[/math]
"Неполадки" выходят с частным решением.
Это резонансный случай, поскольку [math]\lambda = 3+5i[/math] — корень характеристического уравнения.
Если я буду пытаться сделать это уравнение методом неопределённых коэффициентов, то выйдет, что общий вид
[math]y_p=xe^{3x}\left(A\cos{5x}+B\sin{5x}\right)[/math]
Вроде бы
Но проблема в том, что Mathematica упорно выдаёт частное решение как [math]y_p=\frac{-53}{100} e^{3 x} \left(x \cos{5 x}-\sin{5 x}\right)[/math], то есть, каким-то чудесным образом у синуса икса нет, хоть и икс за скобкой.
Wolfram вообще выдал решение без синуса, причём оба решения, если в Mathematica подставить, обращаются в тождество.
Я в смятении.
В чём я не прав? Где ошибка моя?

Автор:  Radley [ 17 ноя 2014, 18:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Нестыковка в ответе к линейному неоднородному ДУ

А вручную вы пробовали найти эти коэффициенты?

Автор:  pewpimkin [ 17 ноя 2014, 18:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Нестыковка в ответе к линейному неоднородному ДУ

---

Изображение

Ответ такой вроде бы

Автор:  pewpimkin [ 17 ноя 2014, 18:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Нестыковка в ответе к линейному неоднородному ДУ

Вычисляем производные:
y' = (A•cos(5x)+B•sin(5x))•e3x+x(-5•A•sin(5x)+5•B•cos(5x))•e3x+3•x(A•cos(5x)+B•sin(5x))•e3x
y'' = 2(-5•A•sin(5x)+5•B•cos(5x))•e3x+6(A•cos(5x)+B•sin(5x))•e3x+x(-25•A•cos(5x)-25•B•sin(5x))•e3x+6•x(-5•A•sin(5x)+5•B•cos(5x))•e3x+9•x(A•cos(5x)+B•sin(5x))•e3x
которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:
y'' -6y' + 34y = (2(-5•A•sin(5x)+5•B•cos(5x))•e3x+6(A•cos(5x)+B•sin(5x))•e3x+x(-25•A•cos(5x)-25•B•sin(5x))•e3x+6•x(-5•A•sin(5x)+5•B•cos(5x))•e3x+9•x(A•cos(5x)+B•sin(5x))•e3x) -6((A•cos(5x)+B•sin(5x))•e3x+x(-5•A•sin(5x)+5•B•cos(5x))•e3x+3•x(A•cos(5x)+B•sin(5x))•e3x) + 34(x (e3x(Acos(5x) + Bsin(5x)))) = 53•e3•x•sin(5•x)
или
-10•A•e3x•sin(5x)+10•B•cos(5x)•e3x = 53•e3•x•sin(5•x)
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:
1: -10A = 53
1: 10B = 0
Решая ее, находим:
A = -53/10;B = 0;
Частное решение имеет вид:
y* = x (e3x(-53/10cos(5x) + 0sin(5x)))
или
y* = x (e3x(-53/10cos(5x) ))

Сам не считал: производные нудные

Автор:  tetroel [ 17 ноя 2014, 18:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Нестыковка в ответе к линейному неоднородному ДУ

Я осознал, в чём мякотка.
Математика не умеет в упаковывание в константу. Частенько она выдаёт что-то типа [math]\frac{C_1}{15}[/math] и так далее. В данном случае она тоже не смогла упаковать.
В Лагранже, если в лоб, тоже упаковывается в константу из общего решения.
Ох уж эта Математика.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/