| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Нестыковка в ответе к линейному неоднородному ДУ http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=36804 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | tetroel [ 17 ноя 2014, 17:49 ] |
| Заголовок сообщения: | Нестыковка в ответе к линейному неоднородному ДУ |
Добрый день. Возникла такая вот проблема при попытке решить данное линейное неоднородное дифференциальное уравнение [math]y''-6 y'+34 y=53 e^{3 x} \sin(5 x)[/math] "Неполадки" выходят с частным решением. Это резонансный случай, поскольку [math]\lambda = 3+5i[/math] — корень характеристического уравнения. Если я буду пытаться сделать это уравнение методом неопределённых коэффициентов, то выйдет, что общий вид [math]y_p=xe^{3x}\left(A\cos{5x}+B\sin{5x}\right)[/math] Вроде бы Но проблема в том, что Mathematica упорно выдаёт частное решение как [math]y_p=\frac{-53}{100} e^{3 x} \left(x \cos{5 x}-\sin{5 x}\right)[/math], то есть, каким-то чудесным образом у синуса икса нет, хоть и икс за скобкой. Wolfram вообще выдал решение без синуса, причём оба решения, если в Mathematica подставить, обращаются в тождество. Я в смятении. В чём я не прав? Где ошибка моя? |
|
| Автор: | Radley [ 17 ноя 2014, 18:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Нестыковка в ответе к линейному неоднородному ДУ |
А вручную вы пробовали найти эти коэффициенты? |
|
| Автор: | pewpimkin [ 17 ноя 2014, 18:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Нестыковка в ответе к линейному неоднородному ДУ |
--- ![]() Ответ такой вроде бы |
|
| Автор: | pewpimkin [ 17 ноя 2014, 18:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Нестыковка в ответе к линейному неоднородному ДУ |
Вычисляем производные: y' = (A•cos(5x)+B•sin(5x))•e3x+x(-5•A•sin(5x)+5•B•cos(5x))•e3x+3•x(A•cos(5x)+B•sin(5x))•e3x y'' = 2(-5•A•sin(5x)+5•B•cos(5x))•e3x+6(A•cos(5x)+B•sin(5x))•e3x+x(-25•A•cos(5x)-25•B•sin(5x))•e3x+6•x(-5•A•sin(5x)+5•B•cos(5x))•e3x+9•x(A•cos(5x)+B•sin(5x))•e3x которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение: y'' -6y' + 34y = (2(-5•A•sin(5x)+5•B•cos(5x))•e3x+6(A•cos(5x)+B•sin(5x))•e3x+x(-25•A•cos(5x)-25•B•sin(5x))•e3x+6•x(-5•A•sin(5x)+5•B•cos(5x))•e3x+9•x(A•cos(5x)+B•sin(5x))•e3x) -6((A•cos(5x)+B•sin(5x))•e3x+x(-5•A•sin(5x)+5•B•cos(5x))•e3x+3•x(A•cos(5x)+B•sin(5x))•e3x) + 34(x (e3x(Acos(5x) + Bsin(5x)))) = 53•e3•x•sin(5•x) или -10•A•e3x•sin(5x)+10•B•cos(5x)•e3x = 53•e3•x•sin(5•x) Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений: 1: -10A = 53 1: 10B = 0 Решая ее, находим: A = -53/10;B = 0; Частное решение имеет вид: y* = x (e3x(-53/10cos(5x) + 0sin(5x))) или y* = x (e3x(-53/10cos(5x) )) Сам не считал: производные нудные |
|
| Автор: | tetroel [ 17 ноя 2014, 18:59 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Нестыковка в ответе к линейному неоднородному ДУ |
Я осознал, в чём мякотка. Математика не умеет в упаковывание в константу. Частенько она выдаёт что-то типа [math]\frac{C_1}{15}[/math] и так далее. В данном случае она тоже не смогла упаковать. В Лагранже, если в лоб, тоже упаковывается в константу из общего решения. Ох уж эта Математика. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|