Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

ДУ решение
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=36647
Страница 1 из 1

Автор:  artcom76 [ 09 ноя 2014, 19:52 ]
Заголовок сообщения:  ДУ решение

Всем привет! Решаю уравнение: [math]y'-y|x=xe^2^x[/math] по методу вариаций произвольных постоянных.
Решение:
[math]y'-y|x=0[/math]
[math]dy|y=dx|x[/math]
[math]y=e^x[/math]
[math]y=ue^x[/math]
[math]y'=u'e^x+u(e^x)'[/math]
[math]y'=u'e^x+ue^x[/math]
[math]u'e^x+ue^x-ue^x|x=xe^2^x[/math]
[math]u'e^x|x=xe^2^x[/math]
[math]u'e^x=x^2e^2^x[/math]
[math]u'=x^2e^x[/math]
[math]du|dx=x^2e^x[/math]
[math]u=x^2e^x-2e^xx+2e^x[/math]
[math]y=e^x(x^2e^x-2e^xx+2e^x)[/math]
Не могу понять где ошибка :( По методу Бернулли получается: [math](e^2^x|2)x[/math]
Помогите разобраться.

Автор:  artcom76 [ 12 ноя 2014, 16:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: ДУ решение

Решил. Не актуально.

Автор:  mad_math [ 12 ноя 2014, 17:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: ДУ решение

Проще всего решить методом выделения дифференциала произведения функций:
[math]y'-\frac{y}{x}=xe^{2x}\Bigr|\cdot\frac{1}{x}[/math]

[math]\frac{y'}{x}-\frac{y}{x^2}=e^{2x}[/math]

Так как [math]\left(\frac{y}{x}\right)'=\frac{y'}{x}-\frac{y}{x^2}[/math], получим
[math]\left(\frac{y}{x}\right)'=e^{2x}[/math]

Интегрируем:
[math]\int\left(\frac{y}{x}\right)'dx=\int e^{2x}dx[/math]

[math]\frac{y}{x}=\frac{1}{2} e^{2x}dx+C[/math]

Откуда
[math]y=\frac{x(e^{2x}+C)}{2}[/math]

Автор:  artcom76 [ 12 ноя 2014, 20:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: ДУ решение

mad_math писал(а):
Проще всего решить методом выделения дифференциала произведения функций:
[math]y'-\frac{y}{x}=xe^{2x}\Bigr|\cdot\frac{1}{x}[/math]

[math]\frac{y'}{x}-\frac{y}{x^2}=e^{2x}[/math]

Так как [math]\left(\frac{y}{x}\right)'=\frac{y'}{x}-\frac{y}{x^2}[/math], получим
[math]\left(\frac{y}{x}\right)'=e^{2x}[/math]

Интегрируем:
[math]\int\left(\frac{y}{x}\right)'dx=\int e^{2x}dx[/math]

[math]\frac{y}{x}=\frac{1}{2} e^{2x}dx+C[/math]

Откуда
[math]y=\frac{x(e^{2x}+C)}{2}[/math]

Действительно просто :) По условию нужно было решить именно методом вариации постоянной, а ошибся я при нахождении некой функции [math]u[/math], [math]y=ue^x[/math], а надо было [math]y=ux[/math] и все посчиталось.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/