| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Проверьте решение ДУ http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=36355 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | tetroel [ 27 окт 2014, 18:36 ] |
| Заголовок сообщения: | Проверьте решение ДУ |
Доброго времени суток. Дано вот такое чудесное уравнение: [math]y'=\frac{y}{x+y^3}[/math], необходимо его решить. Вот, как это сделал я. Правильно ли я действую? I этап Домножаю обе части уравнения на [math]y^3+x[/math], получаю уравнение [math]\left(y^3+x)y'-y=0[/math] Дальше я привожу его вот к такому виду: [math]\left(y^3+x\right) \, dy +\left(-y\right) \, dx=0[/math], т.е. пытаюсь получить нечто похожее на уравнение в полных дифференциалах. Но Не тут-то было, ибо [math]\frac{\partial M}{\partial y}\neq \frac{\partial N}{\partial x}[/math], где [math]M=-y[/math], а [math]N=y^3+x[/math], то есть, это уравнение не есть уравнение в полных дифференциалах. Хорошо. II этап Интегрирующий множитель. [math]\frac{1}{\mu}\frac{d\, \mu}{d\, y}=\frac{1}{M}\left(\frac{\partial N }{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}\right)[/math] [math]\frac{1}{\mu}\frac{d\, \mu}{d\, y} = \frac{-1}{y}\left(1+1\right)[/math] [math]\frac{1}{\mu}\frac{d\, \mu}{d\, y} =\frac{-2}{y} \Rightarrow \mu=\frac{1}{y^2}[/math] Теперь уже моё уравнение будет уравнением в полных дифференциалах: [math]\left(\frac{-1}{y}\right)\, dx + \left(\frac{x}{y^2}+y\right)\, dy=0[/math] Соответственно, я решаю систему: [math]\left\{\begin{matrix}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{-1}{y}\\ \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{x}{y^2}+y \end{matrix}\right.[/math] 1. [math]\int\frac{-1}{y}\, dx = \frac{-x}{y}+C\left(y\right)[/math] 2. [math]\left(\frac{-x}{y}+C\left(y\right)\right)'_y = \frac{x}{y^2}+y[/math] [math]C'\left(y\right)=y \Rightarrow C\left(y\right)=\frac{y^2}{2}+ \tilde{C}[/math] В результате получаем ответ:[math]\frac{-x}{y}+\frac{y^2}{2}=C[/math] Собственно, вопрос: я прав? Если нет, то где именно? Заранее спасибо:з P.S. В качестве "потери решения" ещё выходит [math]y=0[/math] |
|
| Автор: | pewpimkin [ 27 окт 2014, 19:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Проверьте решение ДУ |
dx/dy=x/y+y^2 - линейное |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|