Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Проверьте решение ДУ
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=36355
Страница 1 из 1

Автор:  tetroel [ 27 окт 2014, 18:36 ]
Заголовок сообщения:  Проверьте решение ДУ

Доброго времени суток.
Дано вот такое чудесное уравнение: [math]y'=\frac{y}{x+y^3}[/math], необходимо его решить.
Вот, как это сделал я. Правильно ли я действую?

I этап
Домножаю обе части уравнения на [math]y^3+x[/math], получаю уравнение [math]\left(y^3+x)y'-y=0[/math]
Дальше я привожу его вот к такому виду: [math]\left(y^3+x\right) \, dy +\left(-y\right) \, dx=0[/math], т.е. пытаюсь получить нечто похожее на уравнение в полных дифференциалах.
Но
Не тут-то было, ибо [math]\frac{\partial M}{\partial y}\neq \frac{\partial N}{\partial x}[/math], где [math]M=-y[/math], а [math]N=y^3+x[/math], то есть, это уравнение не есть уравнение в полных дифференциалах. Хорошо.
II этап
Интегрирующий множитель.
[math]\frac{1}{\mu}\frac{d\, \mu}{d\, y}=\frac{1}{M}\left(\frac{\partial N }{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}\right)[/math]
[math]\frac{1}{\mu}\frac{d\, \mu}{d\, y} = \frac{-1}{y}\left(1+1\right)[/math]
[math]\frac{1}{\mu}\frac{d\, \mu}{d\, y} =\frac{-2}{y} \Rightarrow \mu=\frac{1}{y^2}[/math]

Теперь уже моё уравнение будет уравнением в полных дифференциалах:
[math]\left(\frac{-1}{y}\right)\, dx + \left(\frac{x}{y^2}+y\right)\, dy=0[/math]
Соответственно, я решаю систему:
[math]\left\{\begin{matrix}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{-1}{y}\\
\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{x}{y^2}+y
\end{matrix}\right.[/math]

1. [math]\int\frac{-1}{y}\, dx = \frac{-x}{y}+C\left(y\right)[/math]
2. [math]\left(\frac{-x}{y}+C\left(y\right)\right)'_y = \frac{x}{y^2}+y[/math]
[math]C'\left(y\right)=y \Rightarrow C\left(y\right)=\frac{y^2}{2}+ \tilde{C}[/math]

В результате получаем ответ:[math]\frac{-x}{y}+\frac{y^2}{2}=C[/math]

Собственно, вопрос: я прав? Если нет, то где именно?
Заранее спасибо:з

P.S. В качестве "потери решения" ещё выходит [math]y=0[/math]

Автор:  pewpimkin [ 27 окт 2014, 19:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Проверьте решение ДУ

dx/dy=x/y+y^2 - линейное

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/