Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Функция Грина для задачи Коши
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=35220
Страница 1 из 1

Автор:  lexus666 [ 06 авг 2014, 16:00 ]
Заголовок сообщения:  Функция Грина для задачи Коши

Уважаемые, форумчане! Нужна ваша помощь.

Видимо, я что-то не понимаю в использовании функции Грина для решения задачи Коши.
Есть задача:

[math]\left(\frac{d^2}{dt^2}-a^2\right)u=f(t)[/math]
[math]u(0)=u'(0)=0[/math]
я хочу ее решить с помощью функции Грина:

[math]u(t)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}G(t,t')f(t')dt'[/math]
для функции Грина получается следующее уравнение:

[math]\left(\frac{d^2}{dt^2}-a^2\right)G=\delta(t-t')[/math]
с дополнительным условием [math]G=0[/math] при [math]t'>t[/math] (на сколько я понимаю это единственное условие налагаемое на функцию Грина для задачи Коши). Решаю ее 2-мя способами.

1) С помощью преобразования Фурье, делая замену [math]\tau=t-t'[/math]:

[math]G(\tau)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}g(\omega)e^{i\omega t}d\omega[/math]
которое после подстановки в исходное уравнение приводит к выражению:

[math]G(\tau)=-\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i\omega \tau}}{\omega^2+a^2}d\omega[/math]
интеграл вычисляю с помощью вычетов, в результате получаю ответ:

[math]G(\tau)=-\frac{1}{2a}\left\{\begin{array}{ll} e^{-a\tau},\quad \tau>0 \\ e^{a\tau},\quad \tau<0\end{array}\right.[/math]
чтобы удовлетворить условию [math]G(-\mid\tau\mid)=0[/math] вычитаю из функции Грина [math]e^{a\tau}[/math]. В конечном итоге получается:

[math]G(\tau)=\frac{1}{a}\left\{\begin{array}{ll} \mathrm{sh}\,(a\tau),\quad \tau>0 \\ 0,\quad \tau<0\end{array}\right.[/math]

2) Обычными методами:

[math]\left(\frac{d^2}{dt^2}-a^2\right)G_1=0\to G_1=A_1e^{-at}+B_1e^{at},\quad t<t'[/math]
[math]\left(\frac{d^2}{dt^2}-a^2\right)G_2=0\to G_2=A_2e^{-at}+B_2e^{at},\quad t>t'[/math]
с условием сшивки в точке t':

[math]G_1(t=t')=G_2(t=t')[/math]
[math]G_2'(t=t')-G_1'(t=t')=1[/math]
и дополнительным условием [math]G=0[/math] при t'>t. В результате получаю следующую функцию Грина:

[math]G(\tau)=\frac{1}{a}\left\{\begin{array}{ll} \mathrm{sh}\,(a\tau),\quad \tau>0 \\ 0,\quad \tau<0\end{array}\right.[/math]
которая совпадает с решением по первому способу.
А теперь сам вопрос. Я искусственно вычил из функции Грина [math]e^{a\tau}[/math] чтобы функции Грина совпали по первому и второму способу, это нормально? Я не могу найти в литературе решение задач Коши с помощью функции Грина, очень много книг по задачам Дирихле, а вот с Коши нету хорошей литературы. Если кто-нибудь знает литературу по теме, поделитесь пожалуйста!
Спасибо! :)

Задам еще один вопрос. Есть задача Дирихле, для векторного поля (в прямоугольной системе координат):

[math]\left(\nabla^2+a^2\right)\mathbf{A}(x,y,z)=\mathbf{F}(x,y,z)[/math]
с дополнительным условием на границе [math]\mathbf{A}_S=0[/math] и условием калибровки [math]\nabla\cdot\mathbf{A}=f[/math]. Граница области обладает симметрией (цилиндрической например). Понятно, что здесь нужно переходить к системе криволинейных координат [math](x,y,z)\to(\rho,\phi,z)[/math]. Могу ли я при этом оставить запись самого поля в виде [math]\mathbf{A}=A_x(\rho,\phi,z)\mathbf{i}+A_y(\rho,\phi,z)\mathbf{j}+A_z(\rho,\phi,z)\mathbf{k}[/math]?

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/