Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти общее или частное решения дифуры
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=34287
Страница 1 из 2

Автор:  t2skler [ 09 июн 2014, 22:50 ]
Заголовок сообщения:  Найти общее или частное решения дифуры

ysinx + y'cosx = 1
y' = (y+1)/x
(y^2 - 3x^2)dy + 2xydx = 0, y(0) = 1
y''(x^2 +1) = 2xy', y(0) = 1, y'(0) = 3
y^(IV) = sin2x
4y" + 4y' + y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 0

Помогите разобраться с дифурами

Автор:  differencial [ 09 июн 2014, 23:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти общее или частное решения дифуры

Круто)

ну чем можем, поможем

можно только завтра выложить решение?

ко сну клонит

Автор:  t2skler [ 09 июн 2014, 23:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти общее или частное решения дифуры

differencial писал(а):
Круто)

ну чем можем, поможем

можно только завтра выложить решение?

ко сну клонит

Ага, надеюсь на вас :)

Автор:  differencial [ 10 июн 2014, 08:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти общее или частное решения дифуры

ysinx + y'cosx = 1

ДУ первого порядка. Решаем методом Бернулли. Пусть y = uv, тогда y' = u'v + uv'

u'vcosx + uv'cosx + uvsinx = 1

u'vcosx + u[v'cosx + vsinx] = 1

v'cosx + vsinx = 0

v'/v = - tgx

lnv = ln|cosx| + lnc

v = cosx

u' = 1, du = dx, Int du = Int dx, u = x + C

y = uv = (x + C)cosx

Автор:  differencial [ 10 июн 2014, 08:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти общее или частное решения дифуры

y' = (y + 1) / x -- уравнение с разделяющимися переменными

dy / (y + 1) = dx / x

Int dy/(y + 1) = Int dx/x

ln|y + 1| = ln|x| + ln C

y = Cx - 1

Автор:  differencial [ 10 июн 2014, 08:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти общее или частное решения дифуры

y^(IV) = sin2x

y''' = Int sin2x dx = -1/2cos2x + C1

y" = Int [-0.5cos2x + C1] dx =
= -0.5sin2x + C1x + C2

y' = Int y" dx = 1/4cos2x + C1x2/2 + C2x + C3

y = Int y' dx = 1/8sin2x + C1x3/6 + C2x2/2 + C3x + C4

или

y = 1/8sin2x + C1x3 + C2x2 + C3x +C4

где {С1, С2, С3, С4} - константы (произвольные действительные числа)

Автор:  differencial [ 10 июн 2014, 08:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти общее или частное решения дифуры

y''(x^2 +1) = 2xy', y(0) = 1, y'(0) = 3

Пусть p = y', p' = y", тогда имеем ур-е:

p' (x2 + 1) = 2xp >> Int dp/p = Int 2xdx/(x2 +1)

ln|p| = Int d(x2 + 1)/(x2 + 1)

ln|p| = ln(x2 + 1) + ln C1

y' = p = C1(x2 + 1)

y'(0) = C1 = 3 >> C1 = 3

y = Int p dx = Int C1(x2 + 1) dx = C1 (x2/2 + x) + C2

y(0) = C2 = 1 >> C2 = 1

т.о., при y(0)=1, y'(0)=3

y = x3 + 3x + 1

Автор:  differencial [ 10 июн 2014, 09:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти общее или частное решения дифуры

4y" + 4y' + y = 0

y(0) = 2, y'(0) = 0

перед нами однородное ДУ второго порядка

Составим характеристическое уравнение и решим его:

4k2 + 4k + 1 = 0

k1 = k2 = -1/2

y = (C1 + xC2)e^(-x/2), y(0) = 2

y(0) = C1 = 2

y' = C2e^(-x/2) - 1/2 * (C1 + xC2)e^(-x/2)
y'(0) = 0

y'(0) = C2 - C1/2 = 0, C2 = C1/2 = 1

Отв.:

общ. интеграл

y = (C1 + xC2)e^(-x/2)

частное решение при
y(0) = 2, y'(0) = 0

y = (2 + x)e^(-x/2)

Автор:  Yurik [ 10 июн 2014, 12:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти общее или частное решения дифуры

differencial
В первом, начиная с предпоследней строки, неверно.
Дальше не проверял, слишком много, лень.

Автор:  differencial [ 10 июн 2014, 14:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти общее или частное решения дифуры

минус забыл поставить)


lnv = -ln|cosx| + lnc

v = 1 / cosx

y = uv = (x + C) / cosx
остальное все верно

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/