Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти решение ДУ в частных производных 3-его порядка
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=33391
Страница 1 из 1

Автор:  FredOwlM [ 16 май 2014, 12:52 ]
Заголовок сообщения:  Найти решение ДУ в частных производных 3-его порядка

Добрый день. Мне нужно решить следующее дифференциальное уравнение в частных производных:

[math]u_{t} + u^{3} u_{x} + u_{xxx} = 0[/math]

Подходящие замены, которые, по идее, должны упростить это уравнение, я нашла:

[math]u(x,t) = v(z), z=x-ct[/math]
[math]u(x,t) = \frac{1}{t^{ \frac{2}{9} }} f(z), z=\frac{x}{t^{ \frac{1}{3} }}[/math]

Но вот насколько они могут упростить мне задачу, я пока не очень понимаю. Получаются после некоторых упрощений следующие уравнения для соответствующих замен:

[math]v_{zz} = c v-\frac{v^{4}}{4}+c_{1}[/math]
Здесь [math]c_{1}[/math] - произвольная константа, появляющаяся после интегрирования.
[math]9 f_{zzz} + 9 f^{3} f_{z} - 3 f_{z} z - 2 f = 0[/math]

Вопрос вот в чём: как мне решить получившиеся уравнения? Уравнения похожего вида я не нашла (хотя, может быть, они есть, но я не знаю, как они называются). Найти решение в виде ряда по степеням [math]z[/math], видимо, тоже не получится. :nails:

Автор:  Prokop [ 16 май 2014, 22:46 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти решение ДУ в частных производных 3-его порядка

По поводу Вашей первой замены [math]z = x - ct[/math]
Выполните дальше стандартную замену функции [math]y\left( v \right) = v'[/math]
Получите простое уравнение
[math]\frac{1}{2}{\left({{y^2}}\right)^\prime}= cv - \frac{1}{4}{v^4}+{c_1}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/