| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Дифф. уравнение http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=33161 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Wersel [ 08 май 2014, 01:12 ] |
| Заголовок сообщения: | Дифф. уравнение |
Здравствуйте! Наведите, пожалуйста, на мысль по решению дифф. уравнения: [math]y'' (2y'+x)=1[/math]. У меня есть некоторые мысли, но не хочу Вас сбивать ими. Буду благодарен любым мыслям. Спасибо! |
|
| Автор: | Alexdemath [ 08 май 2014, 12:55 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Дифф. уравнение |
Замена [math]2y'+x= z(x)[/math] |
|
| Автор: | Wersel [ 08 май 2014, 13:12 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Дифф. уравнение |
Alexdemath Спасибо за ответ! Эта мысль у меня была, но получается такая штука: Понижаю порядок [math]y'=z \Rightarrow y''=z'[/math] [math]z' (2z+x)=1[/math] При [math]2z+x \neq 0[/math] будет [math]z'=\frac{1}{2z+x}[/math] Пусть [math]v=2z+x[/math], тогда: [math]\frac{dv}{dx} = 2z' + 1 = \frac{2}{2z+x} + 1= \frac{2}{v} + 1[/math] Получаем [math]\frac{dv}{dx} = \frac{2}{v}+1 \Rightarrow \left ( 1 - \frac{2}{v+2} \right ) dv = dx[/math] [math]v-2 \ln|v+2| = x + C_{1}[/math] или [math]2z+x-2 \ln|2z+x+2| = x + C_{1}[/math] Дальше, вроде, надо выразить из этого уравнения [math]z[/math], чтобы сделать обратную замену, но как? Или до этого что-то не так? |
|
| Автор: | Alexdemath [ 08 май 2014, 13:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Дифф. уравнение |
Есть ли в исходной задачи начальные условия? |
|
| Автор: | Wersel [ 08 май 2014, 13:21 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Дифф. уравнение |
Alexdemath Нету. PS. Из выражения [math]2z+x-2 \ln|2z+x+2| = x + C_{1}[/math] можно выразить [math]z[/math] через W-функцию Ламберта, но это плохой вариант. |
|
| Автор: | pewpimkin [ 08 май 2014, 14:05 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Дифф. уравнение |
Я его решил, но картинку могу выложить только часа через два. Он решается при помощи введения параметра, когда, после замены у'=р, решим получившееся линейное относительно х уравнение. Получим х= С1*е^р-2р-2. Потом дифференциируем получившееся , заменяем dx на dy/p , ответ в параметрическом виде получается |
|
| Автор: | pewpimkin [ 08 май 2014, 14:20 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Дифф. уравнение |
|
|
| Автор: | pewpimkin [ 08 май 2014, 14:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Дифф. уравнение |
Кстати, это уравнение из Филиппова. №442. |
|
| Автор: | Wersel [ 08 май 2014, 14:36 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Дифф. уравнение |
pewpimkin Огромное Вам спасибо! |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|