Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Дифф. уравнение
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=33161
Страница 1 из 1

Автор:  Wersel [ 08 май 2014, 01:12 ]
Заголовок сообщения:  Дифф. уравнение

Здравствуйте!

Наведите, пожалуйста, на мысль по решению дифф. уравнения: [math]y'' (2y'+x)=1[/math].

У меня есть некоторые мысли, но не хочу Вас сбивать ими.

Буду благодарен любым мыслям.

Спасибо!

Автор:  Alexdemath [ 08 май 2014, 12:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифф. уравнение

Замена [math]2y'+x= z(x)[/math]

Автор:  Wersel [ 08 май 2014, 13:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифф. уравнение

Alexdemath
Спасибо за ответ! Эта мысль у меня была, но получается такая штука:

Понижаю порядок [math]y'=z \Rightarrow y''=z'[/math]

[math]z' (2z+x)=1[/math]

При [math]2z+x \neq 0[/math] будет [math]z'=\frac{1}{2z+x}[/math]

Пусть [math]v=2z+x[/math], тогда: [math]\frac{dv}{dx} = 2z' + 1 = \frac{2}{2z+x} + 1= \frac{2}{v} + 1[/math]

Получаем [math]\frac{dv}{dx} = \frac{2}{v}+1 \Rightarrow \left ( 1 - \frac{2}{v+2} \right ) dv = dx[/math]

[math]v-2 \ln|v+2| = x + C_{1}[/math]

или

[math]2z+x-2 \ln|2z+x+2| = x + C_{1}[/math]

Дальше, вроде, надо выразить из этого уравнения [math]z[/math], чтобы сделать обратную замену, но как? Или до этого что-то не так?

Автор:  Alexdemath [ 08 май 2014, 13:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифф. уравнение

Есть ли в исходной задачи начальные условия?

Автор:  Wersel [ 08 май 2014, 13:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифф. уравнение

Alexdemath
Нету.

PS. Из выражения [math]2z+x-2 \ln|2z+x+2| = x + C_{1}[/math] можно выразить [math]z[/math] через W-функцию Ламберта, но это плохой вариант.

Автор:  pewpimkin [ 08 май 2014, 14:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифф. уравнение

Я его решил, но картинку могу выложить только часа через два. Он решается при помощи введения параметра, когда, после замены у'=р, решим получившееся линейное относительно х уравнение. Получим х= С1*е^р-2р-2. Потом дифференциируем получившееся , заменяем dx на dy/p , ответ в параметрическом виде получается

Автор:  pewpimkin [ 08 май 2014, 14:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифф. уравнение

Изображение

Автор:  pewpimkin [ 08 май 2014, 14:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифф. уравнение

Кстати, это уравнение из Филиппова. №442.

Автор:  Wersel [ 08 май 2014, 14:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифф. уравнение

pewpimkin
Огромное Вам спасибо!

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/