| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=32746 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | UNIQUE [ 23 апр 2014, 15:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям |
Неоднородное. [math]y''+y=\cos{3x},\ y(\frac{ \pi }{ 2 } )=4,\ y'(\frac{ \pi }{ 2 } )=1[/math] 1. Общее решение однородного [math]y''+y=0[/math] Характеристическое уравнение: [math]\lambda ^2+1=0,\ \lambda_{1,2} = \pm i[/math] Общее решение: [math]Y=C_{1}\cos{x}+C_{2}\sin{x}[/math] 2. Частное решение неоднородного [math]y''+y=\cos{3x}[/math] Вопрос: Должно быть [math]\overline{y} =A\cos{3x}+B\sin{3x}[/math] или [math]\overline{y} =A\cos{x}+B\sin{x}[/math] или нечто третье? |
|
| Автор: | Wersel [ 23 апр 2014, 15:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям |
Вид частного решения определяется по правой части уравнения, у Вас там [math]f(x)=\cos(3x)[/math], то есть частное решение будет [math]A \cos(3x) + B \sin(3x)[/math] |
|
| Автор: | UNIQUE [ 23 апр 2014, 15:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям |
Именно так я и решал далее, только ответ не сошёлся. [math]\overline{y'}=-3A\sin{3x}+3B\cos{3x}[/math] [math]\overline{y''}=-9A\cos{3x}-9B\sin{3x}[/math] [math]y''+y=-9A\cos{3x}-9B\sin{3x}+A\cos{3x}+B\sin{3x}=\cos{3x}[/math] [math]\left\{\!\begin{aligned}& -9A+A=1 \\& -9B+B=0 \end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\!\begin{aligned}& -8A=1 \\& -8B=0 \end{aligned}\right. \ A=-\frac{ 1 }{ 8 };\ B=0[/math] [math]\overline{y}=-\frac{ 1 }{ 8 }\cos{3x}+0[/math] 3. Общее решение неоднородного [math]y=Y+\overline{y}=C_{1}\cos{x}+C_{2}\sin{x}-\frac{ 1 }{ 8 }\cos{3x}[/math] 4. Частное решение по условиям [math]y(\frac{\pi}{2})=4[/math]: [math]y(\frac{\pi}{2})=C_{1}\cos{\frac{\pi}{2}}+C_{2}\sin{\frac{\pi}{2}}-\frac{ 1 }{ 8 }\cos{3\frac{\pi}{2}}=C_{2}[/math] [math]C_{2}=4[/math] [math]y'=-C_{1}\sin{x}+C_{2}\cos{x}+\frac{ 3 }{ 8 }\sin{3x}[/math] [math]y'(\frac{\pi}{2})=1[/math]: [math]y'(\frac{\pi}{2})=-C_{1}\sin{\frac{\pi}{2}}+C_{2}\cos{\frac{\pi}{2}}+\frac{ 3 }{ 8 }\sin{3\frac{\pi}{2}}=-C_{1}-\frac{3}{8}[/math] [math]-C_{1}-\frac{3}{8}=1;\ C_{1}=-\frac{11}{8}[/math] Ответ получился [math]y=-\frac{11}{8}\cos{x}+sin{x}-\frac{ 1 }{ 8 }\cos{3x}[/math], если подставлять сюда и в производную этого уравнения [math]\frac{ \pi }{ 2 }[/math], то условия не выполняются. |
|
| Автор: | Wersel [ 23 апр 2014, 15:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям |
Не найдено значение константы [math]C_{2}[/math]. |
|
| Автор: | UNIQUE [ 23 апр 2014, 15:34 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям |
Пропустил при перепечатке. Я его просто приравнял по условию [math]C_{2}=4[/math]. А на бумаге вот действительно не вписал. Спасибо.
|
|
| Автор: | Wersel [ 23 апр 2014, 15:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям |
В таком случае все совпадает, неверно проверяете. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|