Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=32746
Страница 1 из 1

Автор:  UNIQUE [ 23 апр 2014, 15:00 ]
Заголовок сообщения:  Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Неоднородное. [math]y''+y=\cos{3x},\ y(\frac{ \pi }{ 2 } )=4,\ y'(\frac{ \pi }{ 2 } )=1[/math]
1. Общее решение однородного [math]y''+y=0[/math]
Характеристическое уравнение: [math]\lambda ^2+1=0,\ \lambda_{1,2} = \pm i[/math]
Общее решение: [math]Y=C_{1}\cos{x}+C_{2}\sin{x}[/math]
2. Частное решение неоднородного [math]y''+y=\cos{3x}[/math]
Вопрос: Должно быть [math]\overline{y} =A\cos{3x}+B\sin{3x}[/math] или [math]\overline{y} =A\cos{x}+B\sin{x}[/math] или нечто третье?

Автор:  Wersel [ 23 апр 2014, 15:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Вид частного решения определяется по правой части уравнения, у Вас там [math]f(x)=\cos(3x)[/math], то есть частное решение будет [math]A \cos(3x) + B \sin(3x)[/math]

Автор:  UNIQUE [ 23 апр 2014, 15:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Именно так я и решал далее, только ответ не сошёлся.
[math]\overline{y'}=-3A\sin{3x}+3B\cos{3x}[/math]

[math]\overline{y''}=-9A\cos{3x}-9B\sin{3x}[/math]

[math]y''+y=-9A\cos{3x}-9B\sin{3x}+A\cos{3x}+B\sin{3x}=\cos{3x}[/math]

[math]\left\{\!\begin{aligned}& -9A+A=1 \\& -9B+B=0 \end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\!\begin{aligned}& -8A=1 \\& -8B=0 \end{aligned}\right. \ A=-\frac{ 1 }{ 8 };\ B=0[/math]

[math]\overline{y}=-\frac{ 1 }{ 8 }\cos{3x}+0[/math]

3. Общее решение неоднородного
[math]y=Y+\overline{y}=C_{1}\cos{x}+C_{2}\sin{x}-\frac{ 1 }{ 8 }\cos{3x}[/math]

4. Частное решение по условиям
[math]y(\frac{\pi}{2})=4[/math]: [math]y(\frac{\pi}{2})=C_{1}\cos{\frac{\pi}{2}}+C_{2}\sin{\frac{\pi}{2}}-\frac{ 1 }{ 8 }\cos{3\frac{\pi}{2}}=C_{2}[/math]

[math]C_{2}=4[/math]

[math]y'=-C_{1}\sin{x}+C_{2}\cos{x}+\frac{ 3 }{ 8 }\sin{3x}[/math]

[math]y'(\frac{\pi}{2})=1[/math]: [math]y'(\frac{\pi}{2})=-C_{1}\sin{\frac{\pi}{2}}+C_{2}\cos{\frac{\pi}{2}}+\frac{ 3 }{ 8 }\sin{3\frac{\pi}{2}}=-C_{1}-\frac{3}{8}[/math]

[math]-C_{1}-\frac{3}{8}=1;\ C_{1}=-\frac{11}{8}[/math]

Ответ получился [math]y=-\frac{11}{8}\cos{x}+sin{x}-\frac{ 1 }{ 8 }\cos{3x}[/math], если подставлять сюда и в производную этого уравнения [math]\frac{ \pi }{ 2 }[/math], то условия не выполняются.

Автор:  Wersel [ 23 апр 2014, 15:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Не найдено значение константы [math]C_{2}[/math].

Автор:  UNIQUE [ 23 апр 2014, 15:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

Пропустил при перепечатке. Я его просто приравнял по условию [math]C_{2}=4[/math]. А на бумаге вот действительно не вписал. Спасибо. :)

Автор:  Wersel [ 23 апр 2014, 15:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям

В таком случае все совпадает, неверно проверяете.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/