Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
СообщениеДобавлено: 23 апр 2014, 15:00 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
30 мар 2014, 12:05
Сообщений: 57
Cпасибо сказано: 27
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Неоднородное. [math]y''+y=\cos{3x},\ y(\frac{ \pi }{ 2 } )=4,\ y'(\frac{ \pi }{ 2 } )=1[/math]
1. Общее решение однородного [math]y''+y=0[/math]
Характеристическое уравнение: [math]\lambda ^2+1=0,\ \lambda_{1,2} = \pm i[/math]
Общее решение: [math]Y=C_{1}\cos{x}+C_{2}\sin{x}[/math]
2. Частное решение неоднородного [math]y''+y=\cos{3x}[/math]
Вопрос: Должно быть [math]\overline{y} =A\cos{3x}+B\sin{3x}[/math] или [math]\overline{y} =A\cos{x}+B\sin{x}[/math] или нечто третье?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
СообщениеДобавлено: 23 апр 2014, 15:06 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Вид частного решения определяется по правой части уравнения, у Вас там [math]f(x)=\cos(3x)[/math], то есть частное решение будет [math]A \cos(3x) + B \sin(3x)[/math]

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Wersel "Спасибо" сказали:
UNIQUE
 Заголовок сообщения: Re: Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
СообщениеДобавлено: 23 апр 2014, 15:28 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
30 мар 2014, 12:05
Сообщений: 57
Cпасибо сказано: 27
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Именно так я и решал далее, только ответ не сошёлся.
[math]\overline{y'}=-3A\sin{3x}+3B\cos{3x}[/math]

[math]\overline{y''}=-9A\cos{3x}-9B\sin{3x}[/math]

[math]y''+y=-9A\cos{3x}-9B\sin{3x}+A\cos{3x}+B\sin{3x}=\cos{3x}[/math]

[math]\left\{\!\begin{aligned}& -9A+A=1 \\& -9B+B=0 \end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\!\begin{aligned}& -8A=1 \\& -8B=0 \end{aligned}\right. \ A=-\frac{ 1 }{ 8 };\ B=0[/math]

[math]\overline{y}=-\frac{ 1 }{ 8 }\cos{3x}+0[/math]

3. Общее решение неоднородного
[math]y=Y+\overline{y}=C_{1}\cos{x}+C_{2}\sin{x}-\frac{ 1 }{ 8 }\cos{3x}[/math]

4. Частное решение по условиям
[math]y(\frac{\pi}{2})=4[/math]: [math]y(\frac{\pi}{2})=C_{1}\cos{\frac{\pi}{2}}+C_{2}\sin{\frac{\pi}{2}}-\frac{ 1 }{ 8 }\cos{3\frac{\pi}{2}}=C_{2}[/math]

[math]C_{2}=4[/math]

[math]y'=-C_{1}\sin{x}+C_{2}\cos{x}+\frac{ 3 }{ 8 }\sin{3x}[/math]

[math]y'(\frac{\pi}{2})=1[/math]: [math]y'(\frac{\pi}{2})=-C_{1}\sin{\frac{\pi}{2}}+C_{2}\cos{\frac{\pi}{2}}+\frac{ 3 }{ 8 }\sin{3\frac{\pi}{2}}=-C_{1}-\frac{3}{8}[/math]

[math]-C_{1}-\frac{3}{8}=1;\ C_{1}=-\frac{11}{8}[/math]

Ответ получился [math]y=-\frac{11}{8}\cos{x}+sin{x}-\frac{ 1 }{ 8 }\cos{3x}[/math], если подставлять сюда и в производную этого уравнения [math]\frac{ \pi }{ 2 }[/math], то условия не выполняются.


Последний раз редактировалось UNIQUE 23 апр 2014, 15:35, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
СообщениеДобавлено: 23 апр 2014, 15:32 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Не найдено значение константы [math]C_{2}[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
За это сообщение пользователю Wersel "Спасибо" сказали:
UNIQUE
 Заголовок сообщения: Re: Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
СообщениеДобавлено: 23 апр 2014, 15:34 
Не в сети
Продвинутый
Зарегистрирован:
30 мар 2014, 12:05
Сообщений: 57
Cпасибо сказано: 27
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Пропустил при перепечатке. Я его просто приравнял по условию [math]C_{2}=4[/math]. А на бумаге вот действительно не вписал. Спасибо. :)


Последний раз редактировалось UNIQUE 23 апр 2014, 15:37, всего редактировалось 1 раз.
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Частное решение, удовлетворяющее начальным условиям
СообщениеДобавлено: 23 апр 2014, 15:37 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 дек 2012, 17:11
Сообщений: 1730
Cпасибо сказано: 160
Спасибо получено:
322 раз в 309 сообщениях
Очков репутации: 104

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В таком случае все совпадает, неверно проверяете.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему      Страница 1 из 1 [ Сообщений: 6 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Выделить решение удовлетворяющее начальным условиям

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

StaroKep

1

276

15 ноя 2016, 02:27

Найти решение уравнения удовлетворяющее начальным условиям

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Unit1234

5

448

10 июн 2015, 20:57

Частное решение удовлетворяющее заданным начальным усл

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Pufinka

6

359

18 окт 2015, 00:29

Найти решение уравнения, удовлетворяющее указанным условиям

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

0730574

0

275

23 дек 2021, 12:34

Найти частное решение уравнения, удовлетворяющее начальному

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

evgeniy136

1

434

26 ноя 2016, 14:40

Найти удовлетворяющее условиям множество

в форуме Дискретная математика, Теория множеств и Логика

Children of Math

14

3095

15 ноя 2019, 22:23

Найти решение уравнения, удовлетворяющего условиям

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

Tatiana53

5

398

13 июн 2016, 18:51

Найти общее решение и частное решение при заданных условиях

в форуме Дифференциальное исчисление

El_math

1

343

17 июл 2024, 20:51

Частное решение СДУ

в форуме Дифференциальное исчисление

DanieulZen

2

193

21 май 2024, 21:31

Частное решение ДУ

в форуме Дифференциальные и Интегральные уравнения

YBW

1

190

11 ноя 2018, 23:26


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 5


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2024 MathHelpPlanet.com. All rights reserved