| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Найти общее решение http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=32720 |
Страница 1 из 2 |
| Автор: | UNIQUE [ 22 апр 2014, 12:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Найти общее решение |
[math]4x^2-xy+y^2+y'(x^2-xy+4y^2)=0[/math] Подскажите, с чего начать? |
|
| Автор: | Yurik [ 22 апр 2014, 12:15 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти общее решение |
Однородное уравнение. [math]\begin{gathered} 4{x^2} - xy + {y^2} + y'({x^2} - xy + 4{y^2}) = 0 \hfill \\ y' =- \frac{{4{x^2} - xy + {y^2}}}{{{x^2} - xy + 4{y^2}}} \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
|
| Автор: | Wersel [ 22 апр 2014, 12:16 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти общее решение |
Разделить обе части на [math]x^2[/math]. |
|
| Автор: | UNIQUE [ 22 апр 2014, 15:33 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти общее решение |
Застрял на втором шаге. Как происходит разделение на дроби?
|
|
| Автор: | Yurik [ 22 апр 2014, 16:39 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти общее решение |
Как-то так у меня получается. [math]\begin{gathered} t'x + t = - \frac{{4 - t + {t^2}}}{{1 - t + 4{t^2}}} \hfill \\ t'x\left( {1 - t + 4{t^2}} \right) + t - {t^2} + 4{t^3} = t - 1 - 4{t^2} \hfill \\ t'x\left( {1 - t + 4{t^2}} \right) = - 1 - 3{t^2} - 4{t^3} \hfill \\ \frac{{\left( {1 - t + 4{t^2}} \right)dt}}{{1 + 3{t^2} + 4{t^3}}} = - \frac{{dx}}{x} \hfill \\ \int {\frac{{\left( {1 - t + 4{t^2}} \right)dt}}{{1 + 3{t^2} + 4{t^3}}}} = \int {\frac{{\left( {1 - t + 4{t^2}} \right)dt}}{{\left( {t + 1} \right)\left( {1 - t + 4{t^2}} \right)}}} = \ln \left( {t + 1} \right) + C \hfill \\ ... \hfill \\ \end{gathered}[/math] |
|
| Автор: | Wersel [ 22 апр 2014, 16:41 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти общее решение |
UNIQUE Так там же написано "use partial fractions", дробь раскладывается на сумму простейших дробей. |
|
| Автор: | UNIQUE [ 22 апр 2014, 17:53 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти общее решение |
Wersel Написано, только я не соображу - как? Yurik Не понятен результат в правой части на втором шаге. Я так понимаю надо домножить на знаменатель обе части, но почему справа остался знаменатель же, но с обратными знаками, а не числитель? Я к указанному на картинке интегралу пришёл так: [math]t'x+t=\frac{ -(4-t+t^2) }{ 1-t+4t^2 }[/math] [math]x\frac{ dt }{ dx } =\frac{ -4+t-t^2 }{ 1-t+4t^2 }-t[/math] [math]x\frac{ dt }{ dx } =\frac{ -4+t-t^2-t+t^2-4t^3 }{ 1-t+4t^2 }=\frac{ -4-4t^3 }{ 1-t+4t^2 }[/math] [math]\int \frac{ 4t^2-t+1 }{ -4-4t^3 } =\int \frac{ dx }{ x }[/math] |
|
| Автор: | Wersel [ 22 апр 2014, 18:10 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти общее решение |
UNIQUE Вот так. |
|
| Автор: | UNIQUE [ 22 апр 2014, 22:57 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти общее решение |
В чём моя ошибка? Полученный ранее первый интеграл [math]\int \frac{ 4t^2-t+1 }{ -4-4t^3 }dt =\int -\frac{ 4t^2-t+1 }{ 4(t^3+1)}dt=-\frac{ 1 }{ 4 } \int \frac{ 4t^2-t+1 }{ (t+1)(t^2-t+1)}dt[/math] раскладываю по методу неопр. коэф. [math]\frac{ A }{ t+1 }+\frac{ Bt+C }{ t^2-t+1 } =\frac{ 4t^2-t+1 }{ (t+1)(t^2-t+1) }[/math] [math]\frac{ A(t^2-t+1)+(Bt+C)(t+1) }{ (t+1)(t^2-t+1) }= \frac{ 4t^2-t+1 }{ (t+1)(t^2-t+1) }[/math] [math]At^2-At+A+Bt^2+Bt+Ct+C=4t^2-t+1[/math] [math]\left\{\!\begin{aligned}& A+B=4 \\& -A+B+C=-1 \\& A+C=1 \end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\!\begin{aligned}& A=4-B \\& -4-B+B+C=-1 \\& 4-B+C=1 \end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\!\begin{aligned}& A=4-B \\& C=3 \\& B=6 \end{aligned}\right. A=-2[/math] [math]\frac{ 4t^2-t+1 }{ (t+1)(t^2-t+1) }=\frac{ -2 }{ t+1 }+ \frac{ 6t+3 }{ t^2-t+1 }[/math] [math]-\frac{ 1 }{ 4 } \int (\frac{ -2 }{ t+1 }+ \frac{ 6t+3 }{ t^2-t+1 })dt[/math] |
|
| Автор: | UNIQUE [ 23 апр 2014, 12:37 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Найти общее решение |
Задача всё ещё актуальна.. |
|
| Страница 1 из 2 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|