Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти общее решение
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=32720
Страница 1 из 2

Автор:  UNIQUE [ 22 апр 2014, 12:10 ]
Заголовок сообщения:  Найти общее решение

[math]4x^2-xy+y^2+y'(x^2-xy+4y^2)=0[/math]
Подскажите, с чего начать?

Автор:  Yurik [ 22 апр 2014, 12:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти общее решение

Однородное уравнение.
[math]\begin{gathered} 4{x^2} - xy + {y^2} + y'({x^2} - xy + 4{y^2}) = 0 \hfill \\ y' =- \frac{{4{x^2} - xy + {y^2}}}{{{x^2} - xy + 4{y^2}}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  Wersel [ 22 апр 2014, 12:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти общее решение

Разделить обе части на [math]x^2[/math].

Автор:  UNIQUE [ 22 апр 2014, 15:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти общее решение

Застрял на втором шаге. Как происходит разделение на дроби?
Изображение

Автор:  Yurik [ 22 апр 2014, 16:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти общее решение

Как-то так у меня получается.
[math]\begin{gathered} t'x + t = - \frac{{4 - t + {t^2}}}{{1 - t + 4{t^2}}} \hfill \\ t'x\left( {1 - t + 4{t^2}} \right) + t - {t^2} + 4{t^3} = t - 1 - 4{t^2} \hfill \\ t'x\left( {1 - t + 4{t^2}} \right) = - 1 - 3{t^2} - 4{t^3} \hfill \\ \frac{{\left( {1 - t + 4{t^2}} \right)dt}}{{1 + 3{t^2} + 4{t^3}}} = - \frac{{dx}}{x} \hfill \\ \int {\frac{{\left( {1 - t + 4{t^2}} \right)dt}}{{1 + 3{t^2} + 4{t^3}}}} = \int {\frac{{\left( {1 - t + 4{t^2}} \right)dt}}{{\left( {t + 1} \right)\left( {1 - t + 4{t^2}} \right)}}} = \ln \left( {t + 1} \right) + C \hfill \\ ... \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Автор:  Wersel [ 22 апр 2014, 16:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти общее решение

UNIQUE
Так там же написано "use partial fractions", дробь раскладывается на сумму простейших дробей.

Автор:  UNIQUE [ 22 апр 2014, 17:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти общее решение

Wersel
Написано, только я не соображу - как?

Yurik
Не понятен результат в правой части на втором шаге. Я так понимаю надо домножить на знаменатель обе части, но почему справа остался знаменатель же, но с обратными знаками, а не числитель?
Я к указанному на картинке интегралу пришёл так:
[math]t'x+t=\frac{ -(4-t+t^2) }{ 1-t+4t^2 }[/math]
[math]x\frac{ dt }{ dx } =\frac{ -4+t-t^2 }{ 1-t+4t^2 }-t[/math]
[math]x\frac{ dt }{ dx } =\frac{ -4+t-t^2-t+t^2-4t^3 }{ 1-t+4t^2 }=\frac{ -4-4t^3 }{ 1-t+4t^2 }[/math]
[math]\int \frac{ 4t^2-t+1 }{ -4-4t^3 } =\int \frac{ dx }{ x }[/math]

Автор:  Wersel [ 22 апр 2014, 18:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти общее решение

UNIQUE
Вот так.

Автор:  UNIQUE [ 22 апр 2014, 22:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти общее решение

В чём моя ошибка?
Полученный ранее первый интеграл [math]\int \frac{ 4t^2-t+1 }{ -4-4t^3 }dt =\int -\frac{ 4t^2-t+1 }{ 4(t^3+1)}dt=-\frac{ 1 }{ 4 } \int \frac{ 4t^2-t+1 }{ (t+1)(t^2-t+1)}dt[/math]
раскладываю по методу неопр. коэф. [math]\frac{ A }{ t+1 }+\frac{ Bt+C }{ t^2-t+1 } =\frac{ 4t^2-t+1 }{ (t+1)(t^2-t+1) }[/math]

[math]\frac{ A(t^2-t+1)+(Bt+C)(t+1) }{ (t+1)(t^2-t+1) }= \frac{ 4t^2-t+1 }{ (t+1)(t^2-t+1) }[/math]

[math]At^2-At+A+Bt^2+Bt+Ct+C=4t^2-t+1[/math]

[math]\left\{\!\begin{aligned}& A+B=4 \\& -A+B+C=-1 \\& A+C=1 \end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\!\begin{aligned}& A=4-B \\& -4-B+B+C=-1 \\& 4-B+C=1 \end{aligned}\right. \Rightarrow \left\{\!\begin{aligned}& A=4-B \\& C=3 \\& B=6 \end{aligned}\right. A=-2[/math]

[math]\frac{ 4t^2-t+1 }{ (t+1)(t^2-t+1) }=\frac{ -2 }{ t+1 }+ \frac{ 6t+3 }{ t^2-t+1 }[/math]

[math]-\frac{ 1 }{ 4 } \int (\frac{ -2 }{ t+1 }+ \frac{ 6t+3 }{ t^2-t+1 })dt[/math]

Кошмар, сколько же я времени трачу на один пример.
А на часах 2 ночи...

Автор:  UNIQUE [ 23 апр 2014, 12:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти общее решение

Задача всё ещё актуальна..

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/