Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Уравнение, допускающее понижение порядка
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=32300
Страница 1 из 2

Автор:  mad_math [ 08 апр 2014, 01:03 ]
Заголовок сообщения:  Уравнение, допускающее понижение порядка

Доброго времени суток, уважаемые соучастники!
И опять попалось мне уравнение, которое завело меня в тупик.
Собственно, само уравнение [math]2yy''+(y')^3+(y')^4=0[/math] стандартной заменой [math]y'=p,\,y''=pp'[/math] получаю уравнение [math]2ypp'+p^3+p^4=0[/math], откуда [math]p=0[/math] и [math]2yp'+p^2+p^3=0[/math].
Во втором уравнении разделяю переменные:
[math]\frac{dp}{p^2+p^3}=-\frac{1}{2y}[/math], раскладываю дробь слева на элементарные:
[math]-\frac{dp}{p}+\frac{dp}{p^2}+\frac{dp}{p+1}=-\frac{1}{2y}[/math]
И интегрирую
[math]-\int\frac{dp}{p}+\int\frac{dp}{p^2}+\int\frac{dp}{p+1}=-\int\frac{1}{2y}[/math]
В результате получаю равенство:
[math]-\frac{1}{p}+\ln\frac{p+1}{p}=\ln\frac{C_1}{\sqrt{y}}[/math]
Вот из этого после обратной замены найти [math]y=y(x)[/math] и не получается.
Помогите, пожалуйста, советом или указанием на ошибку.
Спасибо за внимание :thanks:

Автор:  Avgust [ 08 апр 2014, 06:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение, допускающее понижение порядка

Опечатка - последний интеграл из четырех без дифференциала. Но это только опечатка. Я тоже пришел к последнему тождеству и застопорился. :(

Автор:  mad_math [ 08 апр 2014, 13:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение, допускающее понижение порядка

Avgust
Спасибо. Значит есть вероятность, что это не моя ошибка. Теперь думаю, как должен тогда выглядеть ответ :sorry:

Автор:  Wersel [ 08 апр 2014, 13:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение, допускающее понижение порядка

Возможно, чтобы выразить из последнего [math]y[/math], может помочь W-функция Ламберта, но, скорее всего опечатка.

Автор:  mad_math [ 08 апр 2014, 15:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение, допускающее понижение порядка

Wersel
Благодарю :)

Автор:  Wersel [ 08 апр 2014, 15:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение, допускающее понижение порядка

mad_math
:)

Но, повторюсь, если обычная учебная задача (и не для матфаков), то 99%, что условие кривое.

Автор:  mad_math [ 08 апр 2014, 15:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение, допускающее понижение порядка

Wersel писал(а):
Но, повторюсь, если обычная учебная задача (и не для матфаков), то 99%, что условие кривое.
Да. Обычная учебная.

Автор:  Prokop [ 08 апр 2014, 21:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение, допускающее понижение порядка

Можно записать решение в параметрической форме, но там присутствует не берущийся интеграл.

Автор:  mad_math [ 08 апр 2014, 21:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение, допускающее понижение порядка

Prokop
А какой параметр ввести?

Автор:  Prokop [ 08 апр 2014, 21:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Уравнение, допускающее понижение порядка

Можно [math]p[/math], а можно [math]\frac{ 1 }{ p }[/math]

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/