Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Неоднородное уравнение Лапласа
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=32189
Страница 1 из 1

Автор:  Mr_Cat [ 03 апр 2014, 20:58 ]
Заголовок сообщения:  Неоднородное уравнение Лапласа

Имеется следующее уравнение:
[math]\Delta[/math]T (z, r) [math]=[/math] f (z, r).
Необходимо получить решение в объёме V = {z [math]\in [0, a][/math] [math]\otimes[/math] r [math]\in [0, b][/math]}, ограниченным поверхностью S.
При этом оператор Лапласа задан в цилиндрической системе координат c угловой симметрией:
[math]\Delta T[/math] = [math]\frac{\partial^2 T}{\partial z^2}[/math] + [math]\frac{ 1 }{ r }[/math](r[math]\frac{\partial T}{\partial r}[/math]).
Граничные условия однородны: T[math]\left.{ }\right|_{ (z,r) \in S }[/math] = 0.

Автор:  Prokop [ 05 апр 2014, 10:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неоднородное уравнение Лапласа

Решение этой задачи стандартное (метод Фурье), но достаточно длинное. Что у Вас не получается? У Вас ошибка в выражении для оператора Лапласа.

Автор:  Mr_Cat [ 05 апр 2014, 21:24 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неоднородное уравнение Лапласа

Prokop писал(а):
Решение этой задачи стандартное (метод Фурье), но достаточно длинное. Что у Вас не получается? У Вас ошибка в выражении для оператора Лапласа.

Да, ошибка, в записи оператора Лапласа, действительно есть.
Я нашёл решение однородного уравнения методом разделения переменных:
T =[math]\sum\limits_{m,n=0}^{\infty }[/math] {[math]A_{m,n}[/math]exp([math]k_{m,n}[/math]z) + [math]B_{m,n}[/math]exp([math]-k_{m,n}[/math]z)}[math]J_{0}[/math]([math]k_{m,n}[/math]r).
Но, я не могу найти A, B, k для неоднородного уравнения.

Автор:  Mr_Cat [ 08 апр 2014, 23:54 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неоднородное уравнение Лапласа

Если кому интересно, то решение можно найти в справочнике: "А. Д. Полянин. Справочник по линейным уравнениям математической физики, 2001".
Раздел 8. Уравнения эллиптического типа с тремя и более пространственными переменными.
Подраздел 2. Уравнение Пуассона: задачи в цилиндрической системе координат.

Автор:  Prokop [ 09 апр 2014, 12:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неоднородное уравнение Лапласа

Вам задана функция [math]f\left({r,z}\right)[/math]?

Автор:  Unlike One [ 10 апр 2014, 14:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Неоднородное уравнение Лапласа

"Неоднородное уравнение Лапласа", проиграл.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/