Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Общее решение линейного неоднородного уравнения II порядка
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=31854
Страница 1 из 1

Автор:  Pepel [ 23 мар 2014, 18:13 ]
Заголовок сообщения:  Общее решение линейного неоднородного уравнения II порядка

Найти общее решение линейного неоднородного уравнения, если известно, что частное решение соответствующего однородного уравнения является многочленом.
[math]\[(2x + 1)y'' + (2x - 1)y' - 2y = {x^2} + x\][/math]

Нашел частное решение [math]\[{y_1} = 2x - 1\][/math]. Далее по формуле Остроградского-Лиувилля вычислил
[math]\[{y_2} = - {e^{ - x}}\][/math]. Получил общее решение однородного уравнения. Далее применил метод вариации произвольной постоянной:
[math]\[\left\{ \begin{gathered}\frac{{d{C_1}}}{{dx}}(2x - 1) - \frac{{d{C_2}}}{{dx}}{e^{ - x}} = 0 \hfill \\2\frac{{d{C_1}}}{{dx}} + \frac{{d{C_2}}}{{dx}}{e^{ - x}} = {x^2} + x \hfill \\\end{gathered} \right.\][/math]
С1 посчитал, а вот с С2 ПРОБЛЕМЫ! Народ, помогите разобраться с этим примером!

Автор:  pewpimkin [ 23 мар 2014, 18:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Общее решение линейного неоднородного уравнения II порядка

Частное решение необязательно искать по алгоритму. Здесь оно имеет вид у=ax^2+bx+c,дифференциируете , подставляете, ищете а,b,c и все. Здесь оно такое у=1/2(x^2+1)

Автор:  Pepel [ 23 мар 2014, 20:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Общее решение линейного неоднородного уравнения II порядка

pewpimkin писал(а):
Частное решение необязательно искать по алгоритму. Здесь оно имеет вид у=ax^2+bx+c,дифференциируете , подставляете, ищете а,b,c и все. Здесь оно такое у=1/2(x^2+1)


Первое решение искал в виде Ax+B. Второе записал как у Вас, но от этого легче не стало. Надо же как-то систему решать, находить потом С1 и С2, а там уж больно громоздко выходит.

Автор:  pewpimkin [ 23 мар 2014, 20:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Общее решение линейного неоднородного уравнения II порядка

Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма решений : общего решения однородного уравнения и частного решения, какого либо.
Общее однородного у Вас есть? Есть. Ищите частное того вида, которое я написал.
Найдите и сложите
Ответ С1(2х-1) +С2е^-x + 1/2(x^2+1)

Автор:  Pepel [ 23 мар 2014, 20:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Общее решение линейного неоднородного уравнения II порядка

Блин, что-то я на методе Лагранжа помешался! Здесь все понятно. Спасибо!

Автор:  pewpimkin [ 23 мар 2014, 20:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Общее решение линейного неоднородного уравнения II порядка

Пожалуйста

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/