Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Как решить задачу Коши такого вида?
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=31380
Страница 1 из 1

Автор:  ProTreo [ 04 мар 2014, 12:53 ]
Заголовок сообщения:  Как решить задачу Коши такого вида?

Все задачи Коши, которые я вижу в интернете, имеют вид квадратного уравнения, где правая часть равна 0 в случае однородности и какой-то функции в случае неоднородности, но с таким примером я не знаю что делать. Прошу помощи в решении данного примера.
Изображение

Автор:  Yurik [ 04 мар 2014, 12:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как решить задачу Коши такого вида?

Понижайте порядок [math]y'=p(y)\,\,\,y''=pp'[/math].

PS. В ответе получите [math]y = \frac{{{e^{2x}} + 1}}{2}[/math]

Автор:  ProTreo [ 04 мар 2014, 13:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как решить задачу Коши такого вида?

[math]\frac{ dy }{ dx }[/math]= [math]2y-1[/math]

Если я отсюда переношу в левую часть [math]2y-1[/math], я не могу получить [math]e^{2x}[/math], а если я переношу [math]y-\frac{ 1 }{ 2 }[/math], то у меня все получается. В чем моя ошибка в первом случае?

Автор:  pewpimkin [ 04 мар 2014, 13:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как решить задачу Коши такого вида?

Изображение

Можно так

Автор:  Yurik [ 04 мар 2014, 16:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как решить задачу Коши такого вида?

[math]\frac{{dy}}{{dx}} = 2y - 1[/math]

Откуда Вы это взяли?

Автор:  Yurik [ 04 мар 2014, 16:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как решить задачу Коши такого вида?

pewpimkin писал(а):
Можно так

Красиво!

Автор:  ProTreo [ 04 мар 2014, 16:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как решить задачу Коши такого вида?

[math]yy''=y'(y'+1)[/math]

Замена

[math]y'=p(y), y''=pp'[/math]

Получаю

[math]yp'=p+1[/math]

[math]y\frac{ dp }{ dy }=p+1[/math]

[math]\frac{ dp }{ dy } =\frac{ p+1 }{ y }[/math]

[math]\int \frac{ dp }{ p+1 } =\int \frac{ dy }{ y }[/math]

[math]ln\left| p+1 \right| =ln\left| y \right| +ln\left| C \right|[/math]

[math]p+1=Cy[/math]

[math]p=Cy-1[/math]

Т.к.
[math]y'=p[/math]

[math]y(0)=y'(0)=1[/math]

Нахожу [math]C[/math]

[math]1=C-1[/math]

[math]C=2[/math]

[math]y'=2y-1[/math]

Из решения pewpimkin, видимо я не правильно взял интеграл от [math]\frac{ dy }{ 2y-1 }[/math]

Автор:  Yurik [ 04 мар 2014, 16:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Как решить задачу Коши такого вида?

[math]\begin{gathered} \frac{{dy}}{{dx}} = 2y - 1\,\, = > \,\,\frac{{dy}}{{2y - 1}} = dx\,\, = > \,\,\frac{1}{2}\ln \left| {2y - 1} \right| = x \hfill \\ ... \hfill \\ \end{gathered}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/