Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Точное решение системы нелинейных уравнений
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=31067
Страница 1 из 1

Автор:  amandra [ 17 фев 2014, 10:21 ]
Заголовок сообщения:  Точное решение системы нелинейных уравнений

Есть система нелинейных диф уравнений
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \frac{ dC_1(t) }{ dt }=-k \cdot C_1(t) \cdot C_2(t) \\
& \frac{ dC_2(t) }{ dt } =-k \cdot C_1(t) \cdot C_2(t)
\end{aligned}\right.[/math]

Начальные условия
[math]C_1(0)=C_{10}[/math]
[math]C_2(0)=C_{20}[/math]
Как можно попытаться найти точное решение, в общем-то, интересует не сам процесс вывода, а вид решений. Вроде бы, по графику видно, что на экспоненту похоже, но не она...как подойти?
Изображение

Автор:  erjoma [ 17 фев 2014, 11:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Точное решение системы нелинейных уравнений

[math]\left\{ \begin{array}{l}{C_2}\left( t \right) = \frac{{{C_{20}}\left( {{C_{10}} - {C_{20}}} \right){e^{ - k\left( {{C_{10}} - {C_{20}}} \right)t}}}}{{{C_{10}} - {C_{20}}{e^{ - k\left( {{C_{10}} - {C_{20}}} \right)t}}}}\\{C_1}\left( t \right) = \frac{{{C_{10}}\left( {{C_{10}} - {C_{20}}} \right)}}{{{C_{10}} - {C_{20}}{e^{ - k\left( {{C_{10}} - {C_{20}}} \right)t}}}}\end{array} \right.[/math]

Автор:  amandra [ 17 фев 2014, 13:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Точное решение системы нелинейных уравнений

а если так?
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \frac{ dC_1(t) }{ dt }=-k \cdot C_1^{a} (t) \cdot C_2^{b}(t) \\
& \frac{ dC_2(t) }{ dt } =-k \cdot C_1^{a}(t) \cdot C_2^{b}(t)
\end{aligned}\right.[/math]

где a и b могут принимать целые положительные значения

Автор:  erjoma [ 17 фев 2014, 17:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Точное решение системы нелинейных уравнений

[math]\left\{ \begin{array}{l}{C_1}\left( t \right) = {C_2}\left( t \right) + {C_{10}} - {C_{20}}\\\int\limits_0^t {\frac{{d{C_2}\left( t \right)}}{{C_2^b\left( t \right){{\left( {{C_2}\left( t \right) + {C_{10}} - {C_{20}}} \right)}^a}}}} = - kt\end{array} \right.[/math]

Автор:  amandra [ 18 фев 2014, 21:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Точное решение системы нелинейных уравнений

Спасибо,поясните,пожалуйста,вывод к исходной задаче. Спасибо

Автор:  amandra [ 24 фев 2014, 19:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Точное решение системы нелинейных уравнений

разобрался
1) вычел из первого уравнения второе, учел начальное условие
2) использовал результат п.1, подставил во второе уравнение и получил уравнение Бернулли

Автор:  erjoma [ 24 фев 2014, 19:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Точное решение системы нелинейных уравнений

Только получается не уравнение Бернулли, а уравнение с разделяющимися переменными.

Автор:  amandra [ 25 фев 2014, 00:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Точное решение системы нелинейных уравнений

в данном случае, одно и тоже
теперь буду думать над
[math]\left\{\!\begin{aligned}
& \frac{ \partial C_1(x,t) }{ \partial t }+V\frac{ \partial C_1(x,t) }{ \partial x } =-k \cdot C_1(x,t) \cdot C_2(x,t) \\
& \frac{ \partial C_2(x,t) }{ \partial t }+V\frac{ \partial C_2(x,t) }{ \partial x } =-k \cdot C_1(x,t) \cdot C_2(x,t)
\end{aligned}\right.[/math]

c граничными и начальными условиями
[math]C_1(0,t)=g_1(t), C_2(0,t)=g_2(t)[/math]
[math]C_1(x,0)=C_{10}, C_2(x,0)=C_{20}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/