Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Дифференциальное уравнение
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=30009
Страница 1 из 1

Автор:  shiftik7 [ 08 янв 2014, 23:55 ]
Заголовок сообщения:  Дифференциальное уравнение

Не получается решить, подскажите, пожалуйста
y''' * [math](y')^{2}[/math]=[math](y'')^{2}[/math]

Делаю замену y'=p, y''=p'*p, y'''=p(p*p''+p'^2), далее в процессе p'=z, p''=z', но в конце выходит строчка, в которой есть y и y', и из неё мне не выразить y', т.к. мешает натуральный логарифм.

Возможно, нужно решать так: сначала понизить порядок, заменив зависимую переменную, обозначив z=y',
сохранив независимую переменную, так что zʺ *[math]z^{2}[/math] = [math](z')^{2}[/math], а только теперь делать замену независимой переменной, z'=p. Но в этом случае получается [math]\int e^{1|z+c}[/math]dz, и я не знаю, как его взять

Автор:  grigoriew-grisha [ 09 янв 2014, 00:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифференциальное уравнение

Напишите здесь решение вторым способом.

Автор:  shiftik7 [ 09 янв 2014, 00:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифференциальное уравнение

z=y', z'=y'',z''=y'''
z''*[math]z^{2}[/math] = [math](z')^{2}[/math]
z'=p, z''=p'*p
p'*p*[math]z^{2}[/math] = [math]p^{2}[/math]
p'*[math]z^{2}[/math] = p
[math]\frac{ dp }{ dz }[/math] * [math]z^{2}[/math] = p
[math]\frac{ dp }{ p }[/math] = [math]\frac{ dz }{ z^{2} }[/math]
[math]\ln{p}[/math] = -[math]\frac{ 1 }{ z }[/math] + c
p = [math]e^{-\frac{ 1 }{ z } +c}[/math]
p=z'
[math]\frac{ dz }{ dy }[/math] = [math]e^{-\frac{ 1 }{ z }+c }[/math]
y=[math]\int e^{\frac{ 1 }{ z } +c}[/math] dz

Автор:  grigoriew-grisha [ 09 янв 2014, 09:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифференциальное уравнение

Вот вы и получили ответ. Только лучше записать его в виде определенного интеграла с переменным верхним пределом + константа. Этот интеграл в элем. функциях не берется, поэтому иную форму ответу придать не удастся.

Автор:  pewpimkin [ 09 янв 2014, 13:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифференциальное уравнение

Возможно автор вопроса неверно переписал пример: в Филиппове есть такой, только в правой части вторая производная в кубе. Хотя пример и есть пример, почему бы ему не быть таким

Автор:  shiftik7 [ 09 янв 2014, 13:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифференциальное уравнение

условие верное

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/