Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Решить задачу Коши
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=29735
Страница 1 из 1

Автор:  petrowert [ 29 дек 2013, 14:10 ]
Заголовок сообщения:  Решить задачу Коши

Изображение
Я так понял нужно привести к каноническому виду сначала, но у меня получается фигня какая то.
Помогите привести к канон виду)

Автор:  Human [ 02 янв 2014, 11:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решить задачу Коши

Уравнение гиперболического типа на всей плоскости. Уравнение характеристик

[math]4y^2y'^2-2(1-y^2)y'-1=0[/math]

Решая его как квадратное относительно [math]y'[/math], получаем два дифура

[math]y'=\frac1{2y^2},\ y'=-\frac12[/math]

Находим их интегралы и в соответствии с ними вводим замену [math]\xi=3x-2y^3,\ \eta=x+2y[/math]. Пусть [math]v(\xi,\eta)=v(3x-2y^3,x+2y)=u(x,y)[/math]. Тогда

[math]u_x=3v_{\xi}+v_{\eta}[/math]
[math]u_y=-6y^2v_{\xi}+2v_{\eta}[/math]
[math]u_{xx}=9v_{\xi\xi}+6v_{\xi\eta}+v_{\eta\eta}[/math]
[math]u_{xy}=-18y^2v_{\xi\xi}+6(1-y^2)v_{\xi\eta}+2v_{\eta\eta}[/math]
[math]u_{yy}=36y^4v_{\xi\xi}-24y^2v_{\xi\eta}+4v_{\eta\eta}-12yv_{\xi}[/math]

Подставляя в исходное уравнение, получаем

[math]12(1+y^2)^2v_{\xi\eta}=0[/math]

то есть

[math]v(\xi,\eta)=f(\xi)+g(\eta),\ u(x,y)=f(3x-2y^3)+g(x+2y)[/math]

Ну а дальнейшее тривиально.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/