Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Решение интегрального уравнения
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=28515
Страница 1 из 1

Автор:  whp [ 04 дек 2013, 09:38 ]
Заголовок сообщения:  Решение интегрального уравнения

Задание: решить интегральное уравнение [math]x(t) = t + 2\int\limits_0^t{(t - s)x(s)ds}[/math]

Решаем методом последовательного приближения.

Пусть[math]{x_0}(t) = 0[/math], тогда

[math]{x_1}(t) = t + 2\int\limits_0^t{(t - s) \cdot 0 \cdot ds = t}[/math]

[math]{x_2}(t) = t + 2\int\limits_0^t{(t - s)tds = t +{t^3}}[/math]

[math]{x_3}(t) = t + 2\int\limits_0^t{(t - s)(t +{t^3})}ds = t +{t^3}+{t^5}[/math]

получаем последовательность:

[math]{x_n}(t) = t +{t^3}+{t^5}+{t^7}+ ... +{t^{(2n + 1)}}= \sum\limits_{k = 0}^{n - 1}{{t^{(2n - 1)}}}[/math]

Переходя к пределу [math]n \to \infty[/math], получаем решение исходного интегрального уравнения в виде степенного ряда с известной суммой:

[math]x(t) = \mathop{\lim}\limits_{n \to \infty}{x_n}(t) = \sum\limits_{k = 0}^\infty{{t^{(2n - 1)}}}[/math]= ?

Помогите с ответом. Чему будет равен ряд?

Автор:  erjoma [ 04 дек 2013, 10:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение интегрального уравнения

[math]\begin{gathered} {x_2}\left( t \right) = t + 2\int\limits_0^t {\left( {t - s} \right)sds} = t + \frac{{{2t^3}}}{{3!}} \hfill \\ {x_3}\left( t \right) = t + 2\int\limits_0^t {\left( {t - s} \right)\left( {s + \frac{{{2s^3}}}{{3!}}} \right)ds} = t + \frac{{{2t^3}}}{{3!}} + \frac{{{2^2t^5}}}{{5!}} \hfill \\ \end{gathered}[/math]

А не хотите через преобразование Лапласа решить?

Автор:  whp [ 04 дек 2013, 11:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение интегрального уравнения

попробую

Автор:  Alexander N [ 05 дек 2013, 11:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение интегрального уравнения

[math]x(t) = t + 2\int\limits_0^t{(t - s)x(s)ds};=> x(0)=0;[/math]

[math]x'(t) = 1 + 2\int\limits_0^t{x(s)ds}; => x'(0)=1;[/math]

[math]x"(t) = 2x(t); => x(t)=c_1 e^{t\sqrt{2}}+c_2e^{-t\sqrt{2}};=> x(0)=0=c_1+c_2; => x(t)=c(e^{t\sqrt{2}}-e^{-t\sqrt{2}}) ;=> x'(0)=1=c\sqrt{2}(1+1);[/math]

[math]x(t)=\frac{\sqrt{2}}{4}(e^{t\sqrt{2}}-e^{-t\sqrt{2}})[/math]

Автор:  whp [ 05 дек 2013, 15:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение интегрального уравнения

Спасибо!

Автор:  whp [ 05 дек 2013, 17:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Решение интегрального уравнения

можно подробнее, как мы получили [math]x(t) ={c_1}{e^{t\sqrt 2}}+{c_2}{e^{- t\sqrt 2}}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/