Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Теоретическая задача по диффурам
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=27932
Страница 1 из 2

Автор:  LahmatBIy [ 18 ноя 2013, 17:52 ]
Заголовок сообщения:  Теоретическая задача по диффурам

сама задача №285

Изображение

Мой разум додумался до шага:
[math]y = c(x)*e^{k*x}[/math]
[math]y = \frac{ (C + \int\limits_{0}^{\infty} {q(t)e^{\int\limits_{0}^{t}{k}d \mathfrak{Z}}}dt )}{e^{k*x} }}[/math]

Там дальше надобно рассмотреть предел..но вот как занести предел под интеграл я не знаю.

Выручайте братцы (сестры).

Автор:  grigoriew-grisha [ 18 ноя 2013, 20:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теоретическая задача по диффурам

Как-то странно вы решение написали.

Автор:  LahmatBIy [ 18 ноя 2013, 21:17 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теоретическая задача по диффурам

grigoriew-grisha писал(а):
Как-то странно вы решение написали.

Да, точно, минус пропустил.
Но сильно суть не изменится.
[math]y = c(x)*e^{-k*x}[/math]
[math]y = \frac{(C + \int\limits_{0}^{\infty}{q(t)e^{\int\limits_{0}^{t}{k}d \mathfrak{Z}}}dt )}{e^{k*x}}}[/math]

Или я что-то не так решил? Это же метод вариации?

Автор:  Alexander N [ 18 ноя 2013, 21:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теоретическая задача по диффурам

[math]y=ce^{-kx}+\int_{x_0}^x e^{-k(x-t)}q(t)dt;[/math]

При [math]k > 0; lim_{x->\infty}[\frac{dy}{dx}+ky]=0+ky_{\infty}=lim_{x->\infty}q(x)=b; y_{\infty}=\frac{b}{k}[/math]

При [math]k \leqslant 0 if k=0; => \frac{dy}{dx}=q(x); => y=lim_{x->\infty}\int_{x_0}^x q(x)dx = lim_{x->\infty; k->0}\frac{q(x)}{k}=sign(b)\infty[/math] хотя в этой строчке я что то сомневаюсь - может кто то меня и подправит или вообще решит по-другому и правильно? Возможно здесь правильное решение [math]k=\infty; y=0;[/math]

Автор:  Prokop [ 18 ноя 2013, 21:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теоретическая задача по диффурам

При отрицательном значении [math]k[/math] решение лучше записать в виде
[math]y\left( x \right) ={e^{- kx}}\left({C - \int\limits_x^\infty{{e^{kt}}q\left( t \right)dt}}\right)[/math]
Тогда сразу видно, что [math]C=0[/math].
Пределы лучше считать по правилу Лопиталя.

Автор:  grigoriew-grisha [ 18 ноя 2013, 21:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теоретическая задача по диффурам

Этот факт объясняется где-то в начале справочника Камке по ОДУ ( не далее 50-й стр.)

Автор:  Alexander N [ 18 ноя 2013, 21:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теоретическая задача по диффурам

Prokop писал(а):
При отрицательном значении [math]k[/math] решение лучше записать в виде
[math]y\left( x \right) ={e^{- kx}}\left({C - \int\limits_x^\infty{{e^{kt}}q\left( t \right)dt}}\right)[/math]
Тогда сразу видно, что [math]C=0[/math].
Пределы лучше считать по правилу Лопиталя.

Да при k > 0, C - произвольная постоянная, а при k < 0, C=0 и только - единственное решение.

Автор:  LahmatBIy [ 18 ноя 2013, 22:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теоретическая задача по диффурам

Вопрос по пределам, я тоже получал решения с = 0 для k<0, это меня не так беспокоит, беспокоит то, что я не нашел в 3 томах Фихтенгольца ни 1 строчки разоешающей мне, в несобственных интегралах, переносить предел под знак интеграла. Или я не прав, и есть какая-то лемма или теорема позволяющая это сделать?

Автор:  grigoriew-grisha [ 18 ноя 2013, 22:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теоретическая задача по диффурам

Прокоп же написал, что удобно лопитировать, а не переходить к пределу под знаком интеграла.

Автор:  LahmatBIy [ 18 ноя 2013, 22:20 ]
Заголовок сообщения:  Re: Теоретическая задача по диффурам

Alexander N писал(а):
Prokop писал(а):
При отрицательном значении [math]k[/math] решение лучше записать в виде
[math]y\left( x \right) ={e^{- kx}}\left({C - \int\limits_x^\infty{{e^{kt}}q\left( t \right)dt}}\right)[/math]
Тогда сразу видно, что [math]C=0[/math].
Пределы лучше считать по правилу Лопиталя.

Да при k > 0, C - произвольная постоянная, а при k < 0, C=0 и только - единственное решение.


Интуитивно я тоже сразу хочу заменить q(t) на b, мол предел и все дела, но...что нам позволяет так сделать, все-таки это определенный интеграл, и где уверенность, что q(0) не даст значение, которое "убьет" экспоненту.

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/