Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Точное решение уравнения теплопроводности
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=27751
Страница 1 из 1

Автор:  brvlist1 [ 12 ноя 2013, 10:29 ]
Заголовок сообщения:  Точное решение уравнения теплопроводности

Нужно точное решение уравнения теплопроводности при заданных (на фотографии) или любых других начальных и граничных условий. Мне нужно решение своё проверить и оценить погрешность.Изображение

Автор:  Alexander N [ 12 ноя 2013, 11:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Точное решение уравнения теплопроводности

[math]1). u(0,t)=u(1,t)=0; u(x,0)=sin(\pi x);[/math] Решение представляется в виде [math]u=\sum_{k=1}^{\infty}e^{- a t (\pi k)^2}c_k sin(\pi k x)[/math]

Используем начальные условия [math]\sum_{k=1}^{\infty}c_k sin(\pi k x)=sin(\pi x);[/math] Отсюда сразу получаем ответ [math]u=e^{-a t (\pi)^2}sin(\pi x)[/math]

Автор:  brvlist1 [ 12 ноя 2013, 12:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Точное решение уравнения теплопроводности

Большое спасибо! :Bravo:

Автор:  Alexander N [ 12 ноя 2013, 12:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Точное решение уравнения теплопроводности

[math]2). u(0,t)=e^{-at}; u(1,t)=-e^{-at}; u(x,0)=cos(x);[/math] приводим задачу к нулевым граничным условиям

[math]u=v+e^{-at}[cos(x)-\frac{sin(x)(1+cos(1))}{sin(1)}][/math] тогда очевидно, что функция v будет представлена в виде полученном в первой задаче, то-есть.

[math]v=\sum_{k=1}^{\infty}c_k sin(\pi k x) e^{-a t (\pi k)^2}[/math], где Ck находятся из начальных условий

[math]v=\sum_{k=1}^{\infty}c_k sin(\pi k x) = cos(x)-cos(x)+sin(x)\frac{1+cos(1)}{sin(1)}=sin(x)\frac{1+cos(1)}{sin(1)}[/math]

[math]c_k=\frac{2(1+cos(1))}{sin(1)}\int_0^1 sin(x)sin(\pi k x) dx; sin(a)sin(b)=0,5[cos(a-b)-cos(a+b)];[/math]

[math]\int_0^1 sin(x)sin(\pi k x) dx = 0,5 \int_0^1 dx[cos(x(\pi k -1))-cos(x(\pi k +1))]=0,5[\frac{sin(x(\pi k -1))}{\pi k -1} - \frac{sin(x(\pi k +1))}{\pi k +1}]_0^1=[/math]

[math]=0,5(\frac{sin(\pi k -1)}{\pi k -1}-\frac{sin(\pi k+1)}{\pi k+1})=0,5(-1)^{k+1}sin(1)[\frac{1}{\pi k -1}+ \frac{1}{\pi k+1}]= (-1)^{k+1}sin(1)\frac{\pi k}{(\pi k)^2 -1}[/math]

[math]c_k=\frac{2(1+cos(1))}{sin(1)}(-1)^{k+1}sin(1)\frac{\pi k}{(\pi k)^2 -1}=2(1+cos(1))(-1)^{k+1}\frac{\pi k}{(\pi k)^2 -1}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/