Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Нелинейное дифференциальное уравнение
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=27628
Страница 1 из 1

Автор:  [Vitaliy] [ 08 ноя 2013, 01:01 ]
Заголовок сообщения:  Нелинейное дифференциальное уравнение

Уважаемые форумчане, подскажите, пожалуйста, можно ли решить это уравнение аналитически (т.е. представить решение этого уравнения в замкнутом виде). Если можно, то как?
[math]\frac{d^2 y}{d x^2}= a\left( e^{b \cdot y}- e^{c \cdot y}\right)[/math]
Спасибо.

Автор:  Wersel [ 08 ноя 2013, 01:18 ]
Заголовок сообщения:  Re: Нелинейное дифференциальное уравнение

[math]\frac{d^2 y}{d x^2}= a\left( e^{b \cdot y}- e^{c \cdot y}\right)[/math]

[math]y'=z, y''=z'z[/math]

[math]z'= a\left( e^{b \cdot y}- e^{c \cdot y}\right)[/math]

[math]\frac{dz}{dy}= ae^{b \cdot y}- ae^{c \cdot y}[/math]

[math]\int dz = \int (ae^{b \cdot y}- ae^{c \cdot y}) dy[/math]

[math]z = \frac{a}{b}\cdot e^{b \cdot y}- \frac{a}{c}\cdot e^{c \cdot y} + C_{1}[/math]

[math]\frac{dy}{dx} = \frac{a}{b}\cdot e^{b \cdot y}- \frac{a}{c}\cdot e^{c \cdot y} + C_{1}[/math]

UPD: [math]z[/math] забыл...

Автор:  Wersel [ 08 ноя 2013, 01:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Нелинейное дифференциальное уравнение

А вот последнее уравнение через элементарные функции вряд ли выражается, но через специальные -- вполне.

Автор:  [Vitaliy] [ 08 ноя 2013, 19:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Нелинейное дифференциальное уравнение

Wersel, большое спасибо за подсказку. Мои знания в области применения специальных функций для решения дифференциальных уравнений равны нулю. Не посоветуете доступную литературу (желательно с разобраными примерами решений)?

Автор:  Alexander N [ 08 ноя 2013, 20:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Нелинейное дифференциальное уравнение

Wersel! Ты ошибся!

[math]\frac{d^2 y}{d x^2}= a\left( e^{b \cdot y}- e^{c \cdot y}\right)[/math]

[math]y'=z, y''=z'z[/math]

[math]\frac{dz}{dy}z= ae^{b \cdot y}- ae^{c \cdot y}[/math]

[math]\int zdz = \int (ae^{b \cdot y}- ae^{c \cdot y}) dy[/math]

[math]\frac{z^2}{2} = \frac{a}{b}\cdot e^{b \cdot y}- \frac{a}{c}\cdot e^{c \cdot y} + C_{1}[/math]

[math]\frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{a}{b}\cdot e^{b \cdot y}- \frac{a}{c}\cdot e^{c \cdot y} + C_{1}}=>[/math]

[math]\int \frac{dy}{\sqrt{\frac{a}{b}\cdot e^{b \cdot y}- \frac{a}{c}\cdot e^{c \cdot y}+ C_{1}}}=x+C_2;[/math]

Далее можно попробовать подстановку [math]t=e^{Dy}; y=\frac{ln(t)}{D}; dy=\frac{dt}{Dt};[/math]

[math]\int \frac{dt}{Dt\sqrt{\frac{a}{b}\cdot t^{\frac{b}{D}}- \frac{a}{c}\cdot t^{\frac{c}{D}}+ C_{1}}}=x+C_2;[/math]

PS. В качестве справочника по специальным функциям именно в данном тяжелом случае я бы посоветовал Бейтмен, Эрдейи, "Высшие трансцендентные функциии". 1-2, а может и третий тома. Наверняка сейчас их уже можно скачать в интернете, а раньше была библиографическая редкость.

Автор:  Alexander N [ 08 ноя 2013, 20:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Нелинейное дифференциальное уравнение

Далее судьба утопающего - в руках утопающего! Если выдадите на гора числовые значения коэффициентов, то возможно что можно найти и конкретное частное решение что то из района гамма-функции и рядом.

Автор:  [Vitaliy] [ 08 ноя 2013, 21:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Нелинейное дифференциальное уравнение

Alexander N
Спасибо! Я знаю как решить это диф. ур. численными методами (МКР, например), но хотелось бы получить его решение в замкнутом виде. ИМХО, оно не решается аналитически. Но так как я не математик, решил спросить мнение специалистов на этом форуме. Спасибо за то что попробовали решить его и за рекомендации.

Автор:  Alexander N [ 08 ноя 2013, 21:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Нелинейное дифференциальное уравнение

[Vitaliy] писал(а):
Alexander N
Спасибо! Я знаю как решить это диф. ур. численными методами (МКР, например), но хотелось бы получить его решение в замкнутом виде. ИМХО, оно не решается аналитически. Но так как я не математик, решил спросить мнение специалистов на этом форуме. Спасибо за то что попробовали решить его и за рекомендации.

Конечно я уже не математик, а овощ, но взглядом старого волка-суперпрофессионала - не колется вроде как аналитически.
Кстати, если вы судя по всему где то около проффи, то на этот счет сами знаете лучший HELP - справочник по обычным диффурам Э. Камке.
Я думаю, что там можно до сих пор найти все + тут импровизация профессионалов. Кстати я нигде, кроме как здесь, не встречал в интернете людей, знающих математику лучше меня.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/