| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Нелинейное дифференциальное уравнение http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=27628 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | [Vitaliy] [ 08 ноя 2013, 01:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Нелинейное дифференциальное уравнение |
Уважаемые форумчане, подскажите, пожалуйста, можно ли решить это уравнение аналитически (т.е. представить решение этого уравнения в замкнутом виде). Если можно, то как? [math]\frac{d^2 y}{d x^2}= a\left( e^{b \cdot y}- e^{c \cdot y}\right)[/math] Спасибо. |
|
| Автор: | Wersel [ 08 ноя 2013, 01:18 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Нелинейное дифференциальное уравнение |
[math]\frac{d^2 y}{d x^2}= a\left( e^{b \cdot y}- e^{c \cdot y}\right)[/math] [math]y'=z, y''=z'z[/math] [math]z'= a\left( e^{b \cdot y}- e^{c \cdot y}\right)[/math] [math]\frac{dz}{dy}= ae^{b \cdot y}- ae^{c \cdot y}[/math] [math]\int dz = \int (ae^{b \cdot y}- ae^{c \cdot y}) dy[/math] [math]z = \frac{a}{b}\cdot e^{b \cdot y}- \frac{a}{c}\cdot e^{c \cdot y} + C_{1}[/math] [math]\frac{dy}{dx} = \frac{a}{b}\cdot e^{b \cdot y}- \frac{a}{c}\cdot e^{c \cdot y} + C_{1}[/math] UPD: [math]z[/math] забыл... |
|
| Автор: | Wersel [ 08 ноя 2013, 01:23 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Нелинейное дифференциальное уравнение |
А вот последнее уравнение через элементарные функции вряд ли выражается, но через специальные -- вполне. |
|
| Автор: | [Vitaliy] [ 08 ноя 2013, 19:56 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Нелинейное дифференциальное уравнение |
Wersel, большое спасибо за подсказку. Мои знания в области применения специальных функций для решения дифференциальных уравнений равны нулю. Не посоветуете доступную литературу (желательно с разобраными примерами решений)? |
|
| Автор: | Alexander N [ 08 ноя 2013, 20:40 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Нелинейное дифференциальное уравнение |
Wersel! Ты ошибся! [math]\frac{d^2 y}{d x^2}= a\left( e^{b \cdot y}- e^{c \cdot y}\right)[/math] [math]y'=z, y''=z'z[/math] [math]\frac{dz}{dy}z= ae^{b \cdot y}- ae^{c \cdot y}[/math] [math]\int zdz = \int (ae^{b \cdot y}- ae^{c \cdot y}) dy[/math] [math]\frac{z^2}{2} = \frac{a}{b}\cdot e^{b \cdot y}- \frac{a}{c}\cdot e^{c \cdot y} + C_{1}[/math] [math]\frac{dy}{dx} = \sqrt{\frac{a}{b}\cdot e^{b \cdot y}- \frac{a}{c}\cdot e^{c \cdot y} + C_{1}}=>[/math] [math]\int \frac{dy}{\sqrt{\frac{a}{b}\cdot e^{b \cdot y}- \frac{a}{c}\cdot e^{c \cdot y}+ C_{1}}}=x+C_2;[/math] Далее можно попробовать подстановку [math]t=e^{Dy}; y=\frac{ln(t)}{D}; dy=\frac{dt}{Dt};[/math] [math]\int \frac{dt}{Dt\sqrt{\frac{a}{b}\cdot t^{\frac{b}{D}}- \frac{a}{c}\cdot t^{\frac{c}{D}}+ C_{1}}}=x+C_2;[/math] PS. В качестве справочника по специальным функциям именно в данном тяжелом случае я бы посоветовал Бейтмен, Эрдейи, "Высшие трансцендентные функциии". 1-2, а может и третий тома. Наверняка сейчас их уже можно скачать в интернете, а раньше была библиографическая редкость. |
|
| Автор: | Alexander N [ 08 ноя 2013, 20:51 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Нелинейное дифференциальное уравнение |
Далее судьба утопающего - в руках утопающего! Если выдадите на гора числовые значения коэффициентов, то возможно что можно найти и конкретное частное решение что то из района гамма-функции и рядом. |
|
| Автор: | [Vitaliy] [ 08 ноя 2013, 21:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Нелинейное дифференциальное уравнение |
Alexander N Спасибо! Я знаю как решить это диф. ур. численными методами (МКР, например), но хотелось бы получить его решение в замкнутом виде. ИМХО, оно не решается аналитически. Но так как я не математик, решил спросить мнение специалистов на этом форуме. Спасибо за то что попробовали решить его и за рекомендации. |
|
| Автор: | Alexander N [ 08 ноя 2013, 21:31 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Нелинейное дифференциальное уравнение |
[Vitaliy] писал(а): Alexander N Спасибо! Я знаю как решить это диф. ур. численными методами (МКР, например), но хотелось бы получить его решение в замкнутом виде. ИМХО, оно не решается аналитически. Но так как я не математик, решил спросить мнение специалистов на этом форуме. Спасибо за то что попробовали решить его и за рекомендации. Конечно я уже не математик, а овощ, но взглядом старого волка-суперпрофессионала - не колется вроде как аналитически. Кстати, если вы судя по всему где то около проффи, то на этот счет сами знаете лучший HELP - справочник по обычным диффурам Э. Камке. Я думаю, что там можно до сих пор найти все + тут импровизация профессионалов. Кстати я нигде, кроме как здесь, не встречал в интернете людей, знающих математику лучше меня. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|