Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Дифференциальное уравнение с понижением порядка
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=27454
Страница 1 из 1

Автор:  math_unior_99 [ 02 ноя 2013, 16:24 ]
Заголовок сообщения:  Дифференциальное уравнение с понижением порядка

Здравствуйте!
Прошу помощи с решением данного дифференциального уравнения:
Изображение
Как видим, явно переменная x здесь не задана.
Исходя из этого, пытался решить данное ур-е заменой
y' на z(y)
Отсюда следует, что [math]y'' = z* z'[/math], так как z(y) - сложная функция.
После замены и разделения переменных получается такое:
[math]zdz = \frac{ y^{4} - 1 }{ 4y^{3} }dy[/math]
Данный интеграл довольно просто решился и после подстановки начальных условий получилось, что первая константа C1 = 1/8.
Думаю, что до этого момента решал правильно.
Далее нам надо найти вторую константу, чтобы решить задачу Коши.
Но вышеуказанные действия привели к тому, что получается очень громоздкий интеграл.
После некоторых действий и разделения переменных уже с появлением переменной x, получилось это:
[math]\int (\frac{1 dy}{\sqrt{\frac{y^2}{4}- \frac{1}{y^2}+ \frac{1}{8}}}) = \int dx + C2[/math]
С интегралом по dx проблем, естественно, нет. Но как решать интеграл по dy? Особо хороших результатов мои попытки не дали. Может я выше сделал что-то неправильно?
Спасибо за внимание!

Автор:  mad_math [ 02 ноя 2013, 19:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифференциальное уравнение с понижением порядка

Интеграл [math]\int\frac{y^4-1}{4y^3}dy[/math] вы нашли неверно, следовательно, и константу. Хотя это всё равно не облегчает задачу.

Автор:  Ellipsoid [ 02 ноя 2013, 20:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифференциальное уравнение с понижением порядка

Думаю, тут нужна замена [math]y'=p(y), \ y=f(x)[/math].

Автор:  mad_math [ 02 ноя 2013, 20:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифференциальное уравнение с понижением порядка

А мне кажется, что тут сам собой напрашивается интеграл [math]\int\frac{4y^3}{y^4-1}dy[/math], но я не знаю, как преобразовывать уравнение второго порядка к виду, в котором неизвестной функцией является [math]x(y)[/math].

Автор:  pewpimkin [ 02 ноя 2013, 23:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифференциальное уравнение с понижением порядка

С1=-1/4 и все там нормально получается
Ответ у меня получился у=sqrt(e^x+1)
( при вычислении второго интеграла под корнем получается полный квадрат

Автор:  math_unior_99 [ 03 ноя 2013, 00:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифференциальное уравнение с понижением порядка

Благодарю всех за ответы!
Надо будет перепроверить всё ещё один раз.

Автор:  pewpimkin [ 03 ноя 2013, 18:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дифференциальное уравнение с понижением порядка

Изображение

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/