Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=27262
Страница 1 из 1

Автор:  Katerina11111111 [ 27 окт 2013, 19:52 ]
Заголовок сообщения:  Найти общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка

[math]y' \cdot\ln{x} + \frac{ y }{ x } = x[/math]

Делаем замену [math]y = u \cdot v[/math]

[math]y' = u' \cdot v+u \cdot v'[/math]

Подставляем

[math]u' \cdot v \cdot \ln{x}+u \cdot v' \cdot \ln{x}+\frac{ u \cdot v }{ x }=x[/math]

решаем, в результате находим [math]v=-\ln{x}[/math]

дальше не идет (результат не выходит)

[math]u' \cdot \left( -\ln{x} \right) \cdot \ln{x}=x[/math]

[math]\frac{d u}{d x}=-\frac{ x }{ \ln^{2} {x} }[/math]

[math]\int \ du = \int \frac{ x dx}{ \ln^{2} {x} }[/math]

Интеграл не находится, может где ошибаюсь?

Автор:  mad_math [ 27 окт 2013, 20:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка

Просто Вы забыли свойства логарифмов.
[math]v'\ln{x}+\frac{v}{x}=0[/math], откуда [math]\ln{|v|}=-\int\frac{dx}{x\ln{x}}=-\int\frac{d(\ln{x})}{\ln{x}}=-\ln{|\ln{x|}=\ln{\left|\frac{1}{\ln{x}\right|}[/math]
И уже отсюда получаем [math]v=\frac{1}{\ln{x}}[/math]

Автор:  Wersel [ 27 окт 2013, 20:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти общее решение дифференциального уравнения 1-го порядка

Поделите обе части исходного уравнения на [math]\ln(x)[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/