| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Дифференциальное уравнение операционным методом http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=27118 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | antony_001 [ 23 окт 2013, 17:57 ] |
| Заголовок сообщения: | Дифференциальное уравнение операционным методом |
Проверте на правильность и подскажите что делать дальше. [math]\left\{\!\begin{aligned}& x'=4x+2y \\ & y'=4x+6y \end{aligned}\right. x(0)=1 y(0)=3 ;\left\{\!\begin{aligned}& pX(p)-x(0)=4x(p)+2y(p) \\ & pY(p)-y(0)=4x(p)+6y(p) \end{aligned}\right. \left\{\!\begin{aligned}& pX(p)-1=4x(p)+2y(p) \\ & pY(p)-3=4x(p)+6y(p) \end{aligned}\right. \left\{\!\begin{aligned}& pX(p)-4x(p)-2y(p)=1 \\ & pY(p)-4x(p)-6y(p)=3 \end{aligned}\right. \left\{\!\begin{aligned}& (p-4)X(p)-2y(p)=1 \\ & -4x(p)+(p-6)y(p)=3 \end{aligned}\right. A [math]\begin{vmatrix}p-4 & -2 \\ -4 & p-6 \end{vmatrix}[/math] =p^{2}-10p+18 A1 [math]\begin{vmatrix}1 & -2 \\ 3 & p-6 \end{vmatrix}[/math] =p A2 [math]\begin{vmatrix}p-4 & 1 \\ -4 & 3 \end{vmatrix}[/math] =3p-8 ; [math]X(p)=\frac{A1}{A}\= \frac{p}{(p-5)^{2}-7}[/math]=[math]\frac{p-5+5}{(p-5)^{2}-7}=\frac{p-5}{(p-5)^{2}-7}+\frac{5}{\sqrt{7}}\times \frac{\sqrt{7}}{(p-5)^{2}-\sqrt{7}}= e^{5t}\operatorname{ch}\sqrt{7}t+\frac{5}{\sqrt{7}}e^{5t}\operatorname{sh}\sqrt{7}t[/math] |
|
| Автор: | mad_math [ 23 окт 2013, 18:48 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Дифференциальное уравнение операционным методом |
Как-то у вас, при переходе к изображениям, слева [math]X(p),\,Y(p)[/math], а справа [math]x(p),\,y(p)[/math] У меня получилось: [math]\Delta =\begin{vmatrix} p-4 & -2 \\ -4 & p-6 \end{vmatrix}=p^2-6p-4p+24-8=p^2-10p+16[/math] [math]\Delta_1 =\begin{vmatrix} 1 & -2 \\ 3 & p-6 \end{vmatrix}=p-6+6=p[/math] [math]\Delta_2 =\begin{vmatrix} p-4 & 1 \\ -4 & 3 \end{vmatrix}=3p-12+4=3p-8[/math] Тогда [math]X(p)=\frac{p}{p^2-10p+16},\,Y(p)=\frac{3p-8}{p^2-10p+16}[/math] |
|
| Автор: | antony_001 [ 23 окт 2013, 19:21 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Дифференциальное уравнение операционным методом |
Спасибо что заметили - описался. Значит в Х(р) заменить надо будет и -7 на -9. А единица не будет превращаться в [math]\frac{1}{p}[/math] ? |
|
| Автор: | mad_math [ 23 окт 2013, 19:35 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Дифференциальное уравнение операционным методом |
Не совсем понятно, про какую единицу речь... Теперь либо раскладываете дроби на сумму простейших методом неопределённых коэффициентов, либо можно так: [math]X(p)=\frac{p}{p^2-10p+16}=\frac{p-5+5}{(p-5)^2-9}=\frac{p-5}{(p-5)^2-3^2}+\frac{5}{(p-5)^2-3^2}=\frac{p-5}{(p-5)^2-3^2}+\frac{5}{3}\cdot\frac{3}{(p-5)^2-3^2}\to e^{5t}\operatorname{ch}3t+\frac{5}{3}e^{5t}\operatorname{sh}3t[/math] |
|
| Автор: | antony_001 [ 23 окт 2013, 20:06 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Дифференциальное уравнение операционным методом |
Вопрос с единицей решил. А вот как в [math]Y(p)=\frac{3p-8}{(p-5)^{2}-3^{2}}[/math]? В формуле [math]e^{at}\operatorname{ch}\omega t = \frac{p-a}{(p-a)^{2}- \omega ^{2}}[/math] и в примере ведь [math]p-a[/math] не совпадают. Что тут нужно сделать тогда? |
|
| Автор: | mad_math [ 23 окт 2013, 20:09 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Дифференциальное уравнение операционным методом |
Преобразовать числитель аналогично тому, как я делала для X(p): [math]3p-8=3p-15+7=3(p-5)+7[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|