Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Однородное уравнение
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=26957
Страница 1 из 1

Автор:  Den1sart [ 18 окт 2013, 01:05 ]
Заголовок сообщения:  Однородное уравнение

[math]y^2dx+(x^2-xy)dy=0[/math]
На WolframAlpha в ответе W-функция Ламберта, о которой я впервые узнаю,
а в ответе должно быть [math]Cy=e^{x \!\!\not{\phantom{|}}\,y}[/math]
Как привести ответ к нужному виду?
И в третьей строке снизу у меня правильно?

Вложения:
2.jpg
2.jpg [ 195.35 Кб | Просмотров: 42 ]

Автор:  Wersel [ 18 окт 2013, 02:01 ]
Заголовок сообщения:  Re: Однородное уравнение

W-функция Ламберта у вольфрама получается из-за того, что он явно выражает [math]y(x)[/math].

Автор:  Wersel [ 18 окт 2013, 02:04 ]
Заголовок сообщения:  Re: Однородное уравнение

Не пытайтесь переделывать решение вольфрама, попробуйте решить сами, например, запись [math]\int \frac{\frac{dt}{dx} (t-1)}{t} dx = \int \frac{dx}{x}[/math] несколько некорректна, хотя могу и ошибаться.

Автор:  Wersel [ 18 окт 2013, 02:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Однородное уравнение

[math]y^2 dx + (x^2-xy) dy = 0[/math]

[math](x^2-xy) dy = -y^2 dx[/math]

[math](x^2-xy) y' = -y^2[/math]

[math]\left (1-\frac{y}{x} \right ) y' = - \left( \frac{y}{x} \right )^2[/math]

Пусть [math]t = \frac{y}{x}[/math], тогда [math]y=tx[/math] и [math]y'=t'x+t[/math]. Подставляем, получаем:

[math](1-t) \cdot (t'x+t) = - t^2[/math]

[math]t'x+t -t'tx-t^2 = - t^2[/math]

[math]t'x (1 -t)= -t[/math]

[math]\frac{dt}{dx} x (t-1)= t[/math]

[math]\frac{(t-1) dt}{t}= \frac{dx}{x}[/math]

[math]\int \left ( 1 - \frac{1}{t} \right ) dt = \int \frac{dx}{x}[/math]

[math]t - \ln|t| = ln|x| + C[/math]

Обратная замена [math]t = \frac{y}{x}[/math]:

[math]\frac{y}{x} - \ln \left |\frac{y}{x}\right | = \ln|x| + C[/math]

[math]\frac{y}{x} - \ln \left |\frac{y}{x}\right | - \ln|x| = C[/math]

[math]\frac{y}{x} - \left ( \ln \left |\frac{y}{x}\right | + \ln|x| \right )= C[/math]

[math]\frac{y}{x} - \ln \left |\frac{xy}{x}\right | = C[/math]

[math]\frac{y}{x} - \ln|y| = C[/math]

Все, Вы получили общий интеграл данного дифференциального уравнения.

Явно выражать [math]y(x)[/math] стоит в том случае, когда это делается просто, в противном случае (как здесь), просто запишите общий интеграл дифференциального уравнения [math]f(x,y)=C[/math].

Автор:  Wersel [ 18 окт 2013, 02:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Однородное уравнение

И не стоит подгонять решение под ответ. Если хотите проверить правильность решения, возьмите производную от ответа (как производную неявной функции), если ответ верный - после преобразований получите исходное дифф. уравнение.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/