| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Однородное уравнение http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=38&t=26957 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | Wersel [ 18 окт 2013, 02:01 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Однородное уравнение |
W-функция Ламберта у вольфрама получается из-за того, что он явно выражает [math]y(x)[/math]. |
|
| Автор: | Wersel [ 18 окт 2013, 02:04 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Однородное уравнение |
Не пытайтесь переделывать решение вольфрама, попробуйте решить сами, например, запись [math]\int \frac{\frac{dt}{dx} (t-1)}{t} dx = \int \frac{dx}{x}[/math] несколько некорректна, хотя могу и ошибаться. |
|
| Автор: | Wersel [ 18 окт 2013, 02:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Однородное уравнение |
[math]y^2 dx + (x^2-xy) dy = 0[/math] [math](x^2-xy) dy = -y^2 dx[/math] [math](x^2-xy) y' = -y^2[/math] [math]\left (1-\frac{y}{x} \right ) y' = - \left( \frac{y}{x} \right )^2[/math] Пусть [math]t = \frac{y}{x}[/math], тогда [math]y=tx[/math] и [math]y'=t'x+t[/math]. Подставляем, получаем: [math](1-t) \cdot (t'x+t) = - t^2[/math] [math]t'x+t -t'tx-t^2 = - t^2[/math] [math]t'x (1 -t)= -t[/math] [math]\frac{dt}{dx} x (t-1)= t[/math] [math]\frac{(t-1) dt}{t}= \frac{dx}{x}[/math] [math]\int \left ( 1 - \frac{1}{t} \right ) dt = \int \frac{dx}{x}[/math] [math]t - \ln|t| = ln|x| + C[/math] Обратная замена [math]t = \frac{y}{x}[/math]: [math]\frac{y}{x} - \ln \left |\frac{y}{x}\right | = \ln|x| + C[/math] [math]\frac{y}{x} - \ln \left |\frac{y}{x}\right | - \ln|x| = C[/math] [math]\frac{y}{x} - \left ( \ln \left |\frac{y}{x}\right | + \ln|x| \right )= C[/math] [math]\frac{y}{x} - \ln \left |\frac{xy}{x}\right | = C[/math] [math]\frac{y}{x} - \ln|y| = C[/math] Все, Вы получили общий интеграл данного дифференциального уравнения. Явно выражать [math]y(x)[/math] стоит в том случае, когда это делается просто, в противном случае (как здесь), просто запишите общий интеграл дифференциального уравнения [math]f(x,y)=C[/math]. |
|
| Автор: | Wersel [ 18 окт 2013, 02:32 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Однородное уравнение |
И не стоит подгонять решение под ответ. Если хотите проверить правильность решения, возьмите производную от ответа (как производную неявной функции), если ответ верный - после преобразований получите исходное дифф. уравнение. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|