Найти прекцию случайной величины на вектор

Добрый день!
Есть задача: Случайный вектор [math]\left( \mathsf{X} , \mathsf{Y} \right)[/math] задан совместной плотностью распределения [math]f\left(x,y \right)=\left\{\!\begin{aligned}
& \frac{ 8 }{ \pi ^{2} } , \left( x,y \right) \in D \\
& 0, \left( x,y \right) \notin D
\end{aligned}\right.[/math]
Область [math]D=\left\{ y \leqslant \frac{ \pi }{ 2 } - x ; \quad x,y \in \left[ 0,\frac{ \pi }{ 2 } \right] \right\}[/math].

Найти проекцию [math]\mathsf{Y}[/math] на вектор [math]\left\langle{ 1, sin(x) }\right\rangle[/math].

Есть некоторые подсказки от преподавателя и в целом понятна идея решения, но пару моментов у меня вызывают вопросы. Причём возможно совсем глупые моменты =/

Решение:
Пусть проекция случайной величины [math]Y \,\colon \quad \overline{y}= \beta _{1} \cdot 1+\beta _{2} \cdot sin(x)[/math].
Или в матричной форме: [math]\overline{y}= \beta \cdot X[/math], где [math]X=\begin{pmatrix} 1 \\ sin(x) \end{pmatrix}[/math] и [math]\beta=\begin{pmatrix} \beta _{1} & \beta _{2} \end{pmatrix}[/math]

Так как [math]\overline{y}[/math] проекция, тогда [math]\overline{y}[/math] ортогональна [math]y-\overline{y}[/math].
Тогда скалярное произведение [math](\overline{y},y-\overline{y})=(\beta \cdot X,y-\beta \cdot X)=0[/math]

И вот здесь мне необходимо выразить [math]\beta[/math], но я не до конца понимаю, как это сделать. Это первая проблема.
Как я понимаю, на выходе я должна получить:
[math]\beta =E(YX') \cdot (E(XX'))^{-1}[/math], ([math]X'[/math]- транспонированный вектор [math]X[/math])

Дальше матрицу [math](E(XX'))^{-1}[/math] нашла, а вот по поводу [math]E(YX')[/math] возникло сомнение, а не глупости ли я дальше написала...

Не уверена в том, что правильно понимаю, как посчитать математическое ожидание для произведения случайных величин.
[math]E(YX')=E(y,y \cdot sin(x))=(E(y),E(y \cdot sin(x)))[/math], где
[math]E(y \cdot sin(x))=\iint\limits_{ D} y \cdot sin(x) \cdot \frac{ 8 }{ \pi ^{ 2} }d \sigma =\int\limits_{0}^{\frac{ \pi }{ 2}}sin(x) \left( \int\limits_{0}^{\frac{ \pi }{ 2}-x}ydy \right)dx[/math].

Собственно два вопроса: какие преобразования сделать, чтобы получить такую формулу для [math]\beta[/math] и правильный ли интеграл я собираюсь считать?
Буду очень благодарна за помощь.