Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Коэффициент корреляции.
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=911
Страница 1 из 1

Автор:  MutantStar [ 16 июн 2010, 18:10 ]
Заголовок сообщения:  Коэффициент корреляции.

Всем здравствуйте, помогите решить задачу.
Непрерывная двумерная случайная величина (X,Y) распределена равномерно в круге радиусом 6 с центром в точке (0,1). Найти коэффициент корреляции между X и Y.

Для примера, есть решение такой
Случайная точка (X,Y) распределена с постоянной плотностью вероятностей внутри квадрата R: х + у = 1, у - х = 1, х+ у = -1, х -у = 1. Определить коэффициент корреляции между X и Y.
Изображение

Автор:  Prokop [ 17 июн 2010, 19:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Коэффициент корреляции.

При вычислении ковариации вам нужно будет вычислить интеграл по кругу радиусом 6 с центром в точке (0,1) от функции x(y-1) (плотность постоянна и её можно вынести из-под интеграла, как множитель). Но эта функция нечётна по переменной x. Поэтому интеграл равен нулю (вспомните определение интеграла, в котором сказано, что при составлении интегральной суммы разбиение области интегрирования и точки, в которых берутся значения функции, можно выбирать произвольно).

Автор:  MutantStar [ 01 сен 2010, 21:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Коэффициент корреляции.

А можно, если не трудно, привести решение пожалуйста? Я ну ни как :fool:

Автор:  Prokop [ 02 сен 2010, 19:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Коэффициент корреляции.

Решение было приведено. Жаль, что оно Вас не устроило.
Тогда так.
Обозначим круг радиуса 6 с центром в точке (0,1) буквой D
[math]D=\left\{{\left.{\left({x,y}\right)}\right|\quad{x^2}+\left({y-1}\right)^2\leqslant{36}}\right\}[/math]

Тогда плотность [math]f(x,y)[/math] имеет вид
[math]f(x,y)=\left\{{\begin{array}{*{20}c}{C,\;if\quad\left({x,y}\right)\in{D},}\\{0,\;if\quad\left({x,y}\right)\notin{D}.}\\\end{array}}\right.[/math]

При вычислении интегралов будем использовать следующую замену переменных
[math]x=r\cos\phi[/math], [math]y=1+r\sin\phi[/math].

Для определения константы С используем свойство плотности
[math]1=\int\limits_{-\infty}^\infty\int\limits_{-\infty}^\infty{f(x,y)\,dxdy}=C\iint\limits_D{dxdy}=C\pi{36}[/math]

Отсюда
[math]C=\frac{1}{36\pi}[/math]

Далее вычисляем интегралы
[math]M\left[X\right]=\iint\limits_D{x}f\left({x,y}\right)dxdy=C\int\limits_0^{2\pi}{d\phi}\int\limits_0^6{r\cos\left(\phi\right)}rdr=0[/math]

[math]M[Y]=\iint\limits_D{y}f(x,y)dxdy=C\int\limits_0^{2\pi}{d\phi}\int\limits_0^6{\left({1+r\sin\left(\phi\right)}\right)}rdr=1[/math]

[math]K_{xy}=\iint\limits_D{\left({x-M\left[X\right]}\right)\left({y-M\left[Y\right]}\right)}f\left({x,y}\right)dxdy=C\int\limits_0^{2\pi}{d\phi}\int\limits_0^6{r\cos\left(\phi\right)r\sin\left(\phi\right)}rdr=0[/math]

Автор:  MutantStar [ 04 сен 2010, 01:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Коэффициент корреляции.

Большое спасибо!

Автор:  IvanLipko [ 04 сен 2016, 20:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Коэффициент корреляции.

Не могли бы вы пояснить или указать, где прочитать. Я не могу понять, почему интегралы получаются именно такими.
Понимаю, что идёт переход к полярной системе координат, но почему подинтегральные функции именно такие? т.е. как происходит переход, например в (1)
[math]\iint\limits_D{x}f\left({x,y}\right)dxdy=C\int\limits_0^{2\pi}{d\phi}\int\limits_0^6{r\cos\left(\phi\right)}rdr[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/