Дискуссионный математический форумМатематический форум
Математический форум Math Help Planet

Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике

Теоретический раздел
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
новый онлайн-сервис
число, сумма и дата прописью

Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]




Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.
Автор Сообщение
 Заголовок сообщения: Распределение вписанных треугольников по площадям
СообщениеДобавлено: 04 фев 2024, 22:26 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 фев 2024, 22:10
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
При разработке некоего устройства понадобилось решить такую задачу: какова вероятность того, что три случайно выбранные на окружности точки образуют вписанный треугольник с площадью больше (или меньше) наперёд заданного числа?
Многочисленные попытки решить её теоретически не увенчались успехом и была проведена симуляция. По результатам симуляции была высказана гипотеза о виде плотности распределения. Совпадение расчётов с результатами симуляции очень хорошее.
Интересно, что функция не содержит произвольных констант, только площадь круга и максимальную площадь вписанного треугольника. Причём интеграл он неё равен единице, что вполне неплохо для плотности распределения.
А проблема состоит в том, что она получена не теоретически!
Создаётся такое впечатление, что задача в принципе не может быть решена теоретически? Хотя есть вероятность, что она уже была решена кем-то, когда-то. Хотелось бы услышать мнение специалистов в этой области, чтобы принять решение о дальнейших действиях. Заранее благодарен за любые комментарии.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Распределение вписанных треугольников по площадям
СообщениеДобавлено: 05 фев 2024, 05:31 
Не в сети
Последняя инстанция
Аватара пользователя
Зарегистрирован:
28 дек 2011, 15:16
Сообщений: 11657
Откуда: Дивногорск
Cпасибо сказано: 794
Спасибо получено:
1984 раз в 1822 сообщениях
Очков репутации: 314

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Площадь треугольника распределена от [math]0[/math] до конечного значения и максимальна для равностороннего треугольника.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Распределение вписанных треугольников по площадям
СообщениеДобавлено: 05 фев 2024, 15:31 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 ноя 2022, 00:00
Сообщений: 1017
Cпасибо сказано: 67
Спасибо получено:
330 раз в 317 сообщениях
Очков репутации: 74

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
AlexShev
Цитата:
Интересно, что функция не содержит произвольных констант, только площадь круга и максимальную площадь вписанного треугольника.


Площадь круга и максимальная площадь вписанного треугольника не являются независимыми величинами,
т.е. одна величина выражается через другую.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Распределение вписанных треугольников по площадям
СообщениеДобавлено: 05 фев 2024, 18:08 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 ноя 2022, 00:00
Сообщений: 1017
Cпасибо сказано: 67
Спасибо получено:
330 раз в 317 сообщениях
Очков репутации: 74

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
AlexShev
Нумеруем точки: "0", "1" и "2".
Располагаем точку "0" произвольно на окружности радиуса [math]\mathsf{R}[/math]. Через нёё и центр окружности проходит ось ОХ, она же полярная ось. Две другие точки задаются случайными переменными - углами, [math]\varphi _{1}[/math] и [math]\varphi _{2}[/math] , значения которых независимы друг от друга и равномерно распределены в интервале [math]\left[ 0, 2 \pi \right][/math].
Декартовые координаты точек соответственно равны: [math]\left( 0, \mathsf{R} \right), \; \left( \mathsf{R} \cos{ \varphi _{1} }, \mathsf{R} \sin{ \varphi _{1} } \right), \; \left( \mathsf{R} \cos{ \varphi _{1} }, \mathsf{R} \sin{ \varphi _{2} } \right)[/math].
Площадь треугольника с вершинами "0","1","2":
[math]\mathsf{S}\left( \varphi _{1}, \varphi _{2} \right) = \frac{ \mathsf{R} ^{2} }{ 2 } \cdot \left| \left( \mathsf{x} _{1} - \mathsf{x} _{0} \right) \cdot\left( \mathsf{y} _{1} - \mathsf{y} _{0} \right) - \left( \mathsf{x} _{2} - \mathsf{x} _{0} \right) \cdot\left( \mathsf{y} _{2} - \mathsf{y} _{0} \right) \right| =\frac{ \mathsf{R} ^2 }{ 2 } \cdot \left| \sin{\left( \boldsymbol{\varphi} _{2} - \varphi _{1} \right) } + \sin{ \varphi _{1} } - \sin{ \varphi _{2} } \right|. \qquad \left( \bigstar \right)[/math].
[math]\mathsf{R}^{2}[/math] можно выразить через максимально возможную площадь вписанного треугольника [math]\mathsf{S} _{max} = \frac{ 3\sqrt{3} }{ 4 } \mathsf{R} ^2[/math].
Задав значение площади треугольника, [math]\mathsf{S} _{0}[/math], можно построить линию уровня [math]\mathsf{S} \left( \varphi _{1}, \varphi _{2} \right) = \mathsf{S} _{0}[/math].
Она будет лежать внутри квадрата [math]\left[ 0 \leqslant \varphi _{1 }\leqslant 2 \pi, \; 0 \leqslant \varphi _{2} \leqslant 2 \pi \right][/math]. Функция распределения, т.е. вероятность [math]\boldsymbol{F} \left( \mathsf{S} \leqslant \mathsf{S} _{0} \right) = \frac{ \mathsf{A} }{ \left( 2 \pi \right)^{2} }[/math], где [math]\mathsf{A}[/math] -площадь, охватываемая указанной линией уровня ( или площадь, между линией уровня и границами квадрата; тут надо посмотреть).


Последний раз редактировалось revos 05 фев 2024, 18:58, всего редактировалось 2 раз(а).
Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Распределение вписанных треугольников по площадям
СообщениеДобавлено: 05 фев 2024, 18:51 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 ноя 2022, 00:00
Сообщений: 1017
Cпасибо сказано: 67
Спасибо получено:
330 раз в 317 сообщениях
Очков репутации: 74

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Используя формулу [math]\left( \bigstar \right)[/math] из предыдущего поста, можно найти мат. ожидание
[math]\mathsf{M} \left( \mathsf{S} \right)= \frac{ 1 }{ \left( 2 \pi \right)^{2} } \cdot \frac{ \mathsf{R} }{ 2 } \cdot \int\limits_{0}^{2 \pi } \int\limits_{0}^{2 \pi } \left| \sin{ \left( \varphi _{2} - \varphi _{1} \right) } + \sin{ \varphi _{1} } - \sin{ \varphi _{2} } \right| \mathsf{d} \varphi _{1} \mathsf{d} \varphi _{2} = \frac{ \mathsf{R} ^{2} }{ 2 \pi }[/math], аналогично находится дисперсия [math]\mathsf{D} \left( \mathsf{S} \right) =\left( \frac{ 3 }{ 8 } - \frac{ 1 }{ 4 \pi ^{2} } \right) \cdot \mathsf{R} ^{4}[/math].
Тогда для оценок вероятностей можно использовать неравенства Чебышёва.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Распределение вписанных треугольников по площадям
СообщениеДобавлено: 05 фев 2024, 20:18 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 ноя 2022, 00:00
Сообщений: 1017
Cпасибо сказано: 67
Спасибо получено:
330 раз в 317 сообщениях
Очков репутации: 74

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
В посте от 15:31 опечатка. Конечно, декартовые координаты точки "0": [math]\left( \mathsf{R}, 0\right)[/math].

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Распределение вписанных треугольников по площадям
СообщениеДобавлено: 06 фев 2024, 21:38 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 фев 2024, 22:10
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Спасибо revos, что поделились своим видением решения данной проблемы.
Видимо я не очень чётко изложил её суть, раз вы подумали, что я не знаю как вычислить максимальную площадь вписанного треугольника. Конечно я это знаю. Но, как я уже говорил у меня есть эмперическая плотность распределения, полученная по результатам симуляции. И мне не очень нравилось, что там были какие-то безымянные коэффициенты. Ну посудите сами, вот показатель степени равен 0.413. Ну и что мне думать по этому поводу? А почему он не 0.5, как я сначала и подумал. Всё вроде неплохо работало, но мне не давало покоя значение 0.413, которо оказал равно отношению максимальной площади к площади круга! Вот тогда формула и заиграла.
И тем не менее, она получена не теоретическим способом. Я попытался решить эту проблему теоретически следующим образом. Как-то на ютюбе я наткнулся на "парадокс" Бертрана. Почитав этот бред, который там несут (кстати, википедия не отстаёт от них), я решил разобраться в этом сам. Но поскольку задача Бертрана мне показалась неинтересной (ну получим мы число и что?), я озадачился сначала решением такой задачи: какова вероятность того, что случайно выбранная хорда будет иметь длину больше наперёд заданного числа? Задача оказалась на удивление простой и даже я решил её за пять секунд. Ну а потом нетрудно было найти функцию распределения, продифференцировав которую получил плотность распределения хорд по длинам. Ну и ещё вдобавок получил распределение расстояний хорд от центра окружности.
Ну так вот. Мне показалось, что имея эти зависимости можно будет легко решеть и проблему с площадями. Действительно, первая точка ничего не даёт, а вот вторая даёт нам хорду, которая по совместительству является и стороной треугольника. Тогда посмотрев где должна появиться третья точка, чтобы получился треугольник с требуемой площадью, можно будет легко найти эту вероятность. Но я всегд упарался в уравнения третьей или четвёртой степени, которые не решались в общем виде, и на этом всё заканчивалось. Поэтому я решил, что через хорды эту проблему не одолеть.
Тогда я попытался попробовать рассуждыть сразу площадями, но ничего не придумал.
Поэтому ваш подход мне понравился, но я не думаю, чтоможно получить эту линию уровня, по крйней мере не вижу как это сделать. Да у меня есть и соображения почему это не удастся сделать.
Да, и ещё одна заковыка. Матожидание, вычисленное по моей зависимости почти в четыре раза отличается от того, что предложили вы, ну и результаты симуляции подтверждают мои вычисления.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Распределение вписанных треугольников по площадям
СообщениеДобавлено: 06 фев 2024, 23:09 
Не в сети
Оракул
Зарегистрирован:
10 окт 2022, 11:47
Сообщений: 856
Cпасибо сказано: 12
Спасибо получено:
323 раз в 301 сообщениях
Очков репутации: 103

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
AlexShev
А не могли бы Вы привести Ваши эмпирические соотношения?

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Распределение вписанных треугольников по площадям
СообщениеДобавлено: 06 фев 2024, 23:57 
Не в сети
Beautiful Mind
Зарегистрирован:
16 ноя 2022, 00:00
Сообщений: 1017
Cпасибо сказано: 67
Спасибо получено:
330 раз в 317 сообщениях
Очков репутации: 74

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
AlexShev
Цитата:
..ваш подход мне понравился

Merci beaucoup.
Цитата:
...но я не думаю, чтоможно получить эту линию уровня, по крйней мере не вижу как это сделать. Да у меня есть и соображения почему это не удастся сделать.


На очень старой версии MathCad, не обладая особыми навыками, мне удалось :)
Изображение

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
 Заголовок сообщения: Re: Распределение вписанных треугольников по площадям
СообщениеДобавлено: 07 фев 2024, 20:55 
Не в сети
Начинающий
Зарегистрирован:
04 фев 2024, 22:10
Сообщений: 5
Cпасибо сказано: 0
Спасибо получено:
0 раз в 0 сообщении
Очков репутации: 1

Добавить очки репутацииУменьшить очки репутации
Да, конечно могу.
Сначала самое простое. Я себе так и представлял эти линии, но проблема не в том, чтобы их нарисовать, а в том, чтобы получить их аналитическую зависимость от заданной площади. Это легко сделать для условия S=0, это просто диагональ, но в других случаях я не вижу способа даже спаривться с неоднозначностью.
Теперь небольшое замечание по поводу матожидания. Я заметил, что у вас под интегралом стоит произведение площади на плотность распределения углов, а должна бы стоять плотность распределения площадей. Вы даже не представляете какое распределение площадей неравномерное.
Ну и наконец эмпереческая плотность распределения треугольников по площадям.Я пока не совсем разобрался с редактором формул, поэтому опишу её словами.
Она состоит из трёх сомножителей.
Первый сомножитель это единица делённая на максимальную площадь треугольника, обозначим её Sm, ну тоесть в нотации Excel это 1/Sm.
Второй сомножтель это дробь.Если площадь круга обозначить So, то дробь выглядит так (So-Sm)/So.
Третий сомножитель это дробь возводимая в некоторую степень. (s/Sm)^(-Sm/So).
Да, видимо надо было сразу записать так f(s)=(1/Sm)*(So-Sm)/So*(s/Sm)^(-Sm/So)
Отличие результатов симуляции от вычислений по этой формуле в терминах квадрата отклонений где-то в районе 0.00003, ну про крайней мере для трёх различных значений радиуса окружности 1, 2 и 3.
И всё-таки мне кажется, что эта задача не может быть решена теоретически, а жаль. Хотя, я не математик и могу ошибаться, да к тому же и теорию вероятностей можно сказать не знаю совсем, да и не люблю ей заниматься если приходится. Правда теорию вероятностей не люблю потому, что знаю как легко получить неправильное решение.

Вернуться к началу
 Профиль  
Cпасибо сказано 
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему    На страницу 1, 2  След.  Страница 1 из 2 [ Сообщений: 18 ]

 Похожие темы   Автор   Ответы   Просмотры   Последнее сообщение 
Площадь одного квадрата равна площадям двумя радиана???

в форуме Размышления по поводу и без

parashkev_ivanov

0

121

02 авг 2020, 09:19

Два шара вписанных в конус

в форуме Геометрия

Faserty]

4

104

25 сен 2023, 20:27

Площадь последовательности вписанных квадратов

в форуме Начала анализа и Другие разделы школьной математики

afraumar

5

874

02 фев 2015, 18:09

Сумма Гауссовых распределение - гауссово распределение?

в форуме Теория вероятностей

K1b0rg

6

352

01 сен 2020, 01:20

Распределение сл. в n = e1-e2, распределение каждой из коорд

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

johnybsraynilol

1

311

01 июн 2019, 12:35

Решение треугольников

в форуме Геометрия

jj1247

7

640

17 окт 2019, 14:32

Равенство треугольников

в форуме Геометрия

sfanter

3

393

30 июн 2014, 19:13

Подобие треугольников

в форуме Геометрия

Lolita123

2

445

14 июл 2014, 13:19

Равенства треугольников

в форуме Геометрия

fakeuser

5

710

31 июл 2014, 18:20

Сколько треугольников?

в форуме Комбинаторика и Теория вероятностей

nothingg24

6

270

03 авг 2022, 06:00


Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Перейти:  

Яндекс.Метрика

Copyright © 2010-2023 MathHelpPlanet.com. All rights reserved