Задача на характеристику случайного процесса

Пусть [math]Y \, -[/math] число пересечений реализации случайного процесса [math]X_{t}=cos(t- \Phi )[/math] прямой [math]y=a[/math] на отрезке [math][0; \, b],[/math] где случайная величина [math]\Phi[/math] имеет равномерное распределение на отрезке [math][0; \, 2 \pi ][/math] и [math]0<a<1.[/math] Случайная величина [math]Y[/math] имеет дискретное распределение, зависящее от параметров [math]a[/math] и [math]b.[/math]

Если [math]0<b < 2 \, arccos \, a,[/math] то случайная величина [math]Y[/math] имеет два значения: 0 и 1, [math]P(Y=1)=\frac{ 2b }{ 2 \pi }, \,P(Y=0)=1-\frac{ b }{ \pi } .[/math]

Если [math]2 \, arccos \, a \leqslant b <2 \pi - 2 \, arccos \, a,[/math] то случайная величина [math]Y[/math] имеет три значения: 0,1 и 2, [math]P(Y=2)=\frac{ b- 2 \, arccos \, a }{ 2 \pi }, \, P(Y=1)=\frac{ 4 \, arccos \, a }{ 2 \pi }, \,P(Y=0)=1-\frac{ b+2 \, arccos \, a }{2 \pi } .[/math]

Если [math]2 \pi -2 \, arccos \, a \leqslant b \leqslant 2 \pi ,[/math] то случайная величина [math]Y[/math] имеет два значения: 1 и 2, [math]P(Y=1)=2-\frac{ b }{ \pi }, \,P(Y=2)=\frac{ b }{ \pi }-1 .[/math]

Если [math]2\pi n<b \leqslant 2 \pi (n+1),[/math] где [math]n \in \mathsf{N} ,[/math] то будут эти же три случая, рассмотренные выше, но значения случайной величины [math]Y[/math] увеличатся на [math]n[/math], а параметр [math]b[/math] в формулах нужно будет заменить на [math]b-2 \pi n.[/math]

Я думал, что вы в этом сами убедитесь, вычислив математическое ожидание дискретной случайной величины.

Я подробно выписал формулы для распределения случайной величины [math]Y[/math] в случае, когда параметр [math]b[/math] меняется от 0 до [math]2 \pi .[/math] Если параметр [math]b[/math] больше [math]2 \pi ,[/math] то нужен этот последний случай.