Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вероятность, что в каждой урне шары двух цветов
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=79518
Страница 1 из 2

Автор:  mad_math [ 15 мар 2023, 05:40 ]
Заголовок сообщения:  Вероятность, что в каждой урне шары двух цветов

Доброго времени суток, уважаемые соучастники!
Решаю задачу
Цитата:
9 шаров чёрного цвета, 6 - белого разложены по 4-м урнам. Найти вероятность того, что в каждой урне будут шары двух цветов.


Пока что идей никаких, кроме использования формулы классического определения вероятности.
Возможно проще найти вероятность противоположного события: что в одной урне оказались шары только одного цвета?
Подскажите наиболее рациональный вариант решения, пожалуйста.
Спасибо за внимание.
С уважением, Светлана.

Автор:  searcher [ 15 мар 2023, 08:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вероятность, что в каждой урне шары двух цветов

mad_math писал(а):
Пока что идей никаких, кроме использования формулы классического определения вероятности.

Вы на правильном пути.
Сначала считаем количество всевозможных исходов:
1. Сколько способов разложить 9 чёрных шаров по 4-м урнам - [math]C_{12}^3[/math] .
2. Сколько способов разложить 6 белых шаров по 4-м урнам - [math]C_{9}^3[/math] .
3. Итого: ...
Теперь считаем количество благоприятных исходов. Повторяем вычисления, но предполагаем, что 4 чёрных и 4 белых шара уже лежат в урнах (по одному в урне).
Дальше делим одно на другое.

Автор:  mad_math [ 15 мар 2023, 08:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вероятность, что в каждой урне шары двух цветов

searcher писал(а):
Сначала считаем количество всевозможных исходов:
1. Сколько способов разложить 9 чёрных шаров по 4-м урнам - [math]C^3_{12}[/math].
2. Сколько способов разложить 6 белых шаров по 4-м урнам - [math]C^3_{9}[/math].
3. Итого: ...


А разве здесь не будет просто количество размещений из 9 по 4 и из 6 по 4?

Автор:  searcher [ 15 мар 2023, 09:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вероятность, что в каждой урне шары двух цветов

mad_math писал(а):
А разве здесь не будет просто количество размещений из 9 по 4

У нас два типа предметов - 9 шаров и 3 перегородки. Посмотрите книгу Виленкиных по комбинаторике.

Автор:  michel [ 15 мар 2023, 10:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вероятность, что в каждой урне шары двух цветов

mad_math писал(а):
А разве здесь не будет просто количество размещений из 9 по 4 и из 6 по 4?

Здесь не размещения, а сочетания с повторениями, так как порядок шаров в урнах не играет роли. Причём число сочетаний с повторениями равно соответственно: [math]\bar{C}_9^4=C_{9+4-1}^{4-1}[/math] и [math]\bar{C}_6^4=C_{6+4-1}^{4-1}[/math].

Автор:  mad_math [ 15 мар 2023, 10:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вероятность, что в каждой урне шары двух цветов

Вариант с перегородками я тоже рассматривала, но не для чёрных и белых шаров отдельно, а для всех 15.
Тогда, каждому способу разложить чёрные шары соответствует [math]C^3_9[/math] способов разложить белые шары, то есть итого [math]n=C^3_{12}\cdot C^3_9[/math]. Так?

Автор:  michel [ 15 мар 2023, 10:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вероятность, что в каждой урне шары двух цветов

Да, так как шары двух цветов совершенно независимо друг от друга могут быть распределены по урнам!

Автор:  mad_math [ 15 мар 2023, 11:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вероятность, что в каждой урне шары двух цветов

А число благоприятных исходов?
Положим в каждый ящик по одному чёрному и одному белому шару, и благоприятные исходы будем рассматривать по расположению оставшихся 5 чёрных и 2 белых шаров, то есть [math]m=\bar{C}^4_5\cdot \bar{C}^4_2[/math]. Так?

Автор:  michel [ 15 мар 2023, 11:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вероятность, что в каждой урне шары двух цветов

mad_math писал(а):
благоприятные исходы будем рассматривать по расположению оставшихся 5 чёрных и 2 белых шаров

Да, именно так!

Автор:  mad_math [ 15 мар 2023, 11:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вероятность, что в каждой урне шары двух цветов

searcher, michel, благодарю!

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/