Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Геометрическая вероятность:(
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=36097
Страница 1 из 1

Автор:  Chris2395 [ 15 окт 2014, 07:30 ]
Заголовок сообщения:  Геометрическая вероятность:(

Определить вероятность того, что корни квадратного уравнения: x2 + 2ax + b = 0 будут вещественными, если значения коэффициентов уравнения равновозможны в прямоугольнике: | b |=< m, | a |=< n, . Какова вероятность того, что при указанных условиях корни этого уравнения будут положительными?
Я понимаю, что корни будут вещественными, если дискриминант будет больше либо равен 0, и корни будут положительными, если а=<0 и b>=0. А как вероятности найти, не понимаю, знаю, что площади надо поделить друг на друга, но тут всё с буквами, и я запуталась:(

Автор:  3D Homer [ 15 окт 2014, 15:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическая вероятность:(

Термин "геометрическая" по отношению к вероятности имеет свое точное значение (см. Википедию). Здесь задача по вероятности, имеющая отношение к геометрии.

Изображение


Дискриминант неотрицателен тогда и только тогда, когда [math]b\le a^2[/math]. Поэтому вам нужно найти закрашенные площади и разделить их на площадь прямоугольника. Нужно рассмотреть два случая: [math]n<\sqrt{m}[/math] и [math]n\ge\sqrt{m}[/math]. Для нахождения площади под параболой используйте интеграл.

Автор:  Chris2395 [ 15 окт 2014, 19:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическая вероятность:(

3D Homer писал(а):
Термин "геометрическая" по отношению к вероятности имеет свое точное значение (см. Википедию). Здесь задача по вероятности, имеющая отношение к геометрии.

Изображение


Дискриминант неотрицателен тогда и только тогда, когда [math]b\le a^2[/math]. Поэтому вам нужно найти закрашенные площади и разделить их на площадь прямоугольника. Нужно рассмотреть два случая: [math]n<\sqrt{m}[/math] и [math]n\ge\sqrt{m}[/math]. Для нахождения площади под параболой используйте интеграл.

Можешь объяснить, как найти вероятность на примере одного из случаев? Площадь прямоугольника равна 4mn, а вот заштрихованной области понять не могу, как искать:(

Автор:  3D Homer [ 15 окт 2014, 19:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическая вероятность:(

Про интеграл можно почитать, например, здесь. Если кратко, то площадь между параболой [math]y=x^2[/math] и осью [math]Ox[/math] от [math]x=0[/math] до [math]x=a[/math] есть [math]\frac{a^3}{3}[/math].

Автор:  Chris2395 [ 16 окт 2014, 05:10 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическая вероятность:(

3D Homer писал(а):
Про интеграл можно почитать, например, здесь. Если кратко, то площадь между параболой [math]y=x^2[/math] и осью [math]Ox[/math] от [math]x=0[/math] до [math]x=a[/math] есть [math]\frac{a^3}{3}[/math].


Я про интегралы знаю, я не понимаю эти случаи, вот мы берем n^2>=m. Какая область нам подходит?

Автор:  3D Homer [ 16 окт 2014, 07:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическая вероятность:(

Если [math]n^2>m[/math], разбейте закрашенную область на одну (или две) области между параболой и осью [math]Ox[/math], а также три прямоугольника, как показано на рисунке.

Изображение

Автор:  Chris2395 [ 17 окт 2014, 05:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическая вероятность:(

3D Homer писал(а):
Если [math]n^2>m[/math], разбейте закрашенную область на одну (или две) области между параболой и осью [math]Ox[/math], а также три прямоугольника, как показано на рисунке.

Изображение

Спасибо большое, но я всё равно понять не могу:( получается площадь закрашенной области будет равна 4mn-интеграл( от о до m)b^1/2 ?

Автор:  3D Homer [ 17 окт 2014, 17:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическая вероятность:(

Chris2395 писал(а):
получается площадь закрашенной области будет равна 4mn-интеграл( от о до m)b^1/2 ?
У вас хорошо получается следовать инструкциям. Я посоветовал следующее:
3D Homer писал(а):
разбейте закрашенную область на одну (или две) области между параболой и осью Ox, а также три прямоугольника, как показано на рисунке.
Вместо этого вы, насколько я понимаю, пытаетесь найти незакрашенную область над параболой и вычесть ее из площади прямоугольника. Так можно поступить, если за новую ось [math]Ox[/math] принять верхнюю сторону прямоугольника, а ось [math]Oy[/math] направить вниз. В новых координатах уравнение параболы будет [math]y=-x^2+m[/math], а назакрашенная площадь будет [math]\int_{-\sqrt{m}}^{\sqrt{m}}(-x^2+m)\,dx[/math].

Изображение


Моя рекомендация была найти отдельно фиолетовую (A), красную (B) и зеленую (C) площади и сложить. Фиолетовая есть [math]\int_{-\sqrt{m}}^{\sqrt{m}}x^2\,dx= 2\int_0^{\sqrt{m}}x^2\,dx[/math]. Красная область есть [math]4(n-\sqrt{m})m[/math]. Наконец, зеленая есть [math]2m^{3\!\not\ \;2}[/math].

Все это относится к случаю, когда [math]\sqrt{m}<n[/math]. Если [math]n\le\sqrt{m}[/math], то ситуация упрощается, поскольку не надо добавлять красные площади.

Автор:  Chris2395 [ 18 окт 2014, 15:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическая вероятность:(

3D Homer писал(а):
Chris2395 писал(а):
получается площадь закрашенной области будет равна 4mn-интеграл( от о до m)b^1/2 ?
У вас хорошо получается следовать инструкциям. Я посоветовал следующее:
3D Homer писал(а):
разбейте закрашенную область на одну (или две) области между параболой и осью Ox, а также три прямоугольника, как показано на рисунке.
Вместо этого вы, насколько я понимаю, пытаетесь найти незакрашенную область над параболой и вычесть ее из площади прямоугольника. Так можно поступить, если за новую ось [math]Ox[/math] принять верхнюю сторону прямоугольника, а ось [math]Oy[/math] направить вниз. В новых координатах уравнение параболы будет [math]y=-x^2+m[/math], а назакрашенная площадь будет [math]\int_{-\sqrt{m}}^{\sqrt{m}}(-x^2+m)\,dx[/math].

Изображение


Моя рекомендация была найти отдельно фиолетовую (A), красную (B) и зеленую (C) площади и сложить. Фиолетовая есть [math]\int_{-\sqrt{m}}^{\sqrt{m}}x^2\,dx= 2\int_0^{\sqrt{m}}x^2\,dx[/math]. Красная область есть [math]4(n-\sqrt{m})m[/math]. Наконец, зеленая есть [math]2m^{3\!\not\ \;2}[/math].

Все это относится к случаю, когда [math]\sqrt{m}<n[/math]. Если [math]n\le\sqrt{m}[/math], то ситуация упрощается, поскольку не надо добавлять красные площади.

Для m>=n^2 не получается ответ, не сходится с ответом из учебника:( должно быть P=1/2 + n^2/(6m), у меня получается P=(2m^1/2)/(3n)

Автор:  Chris2395 [ 18 окт 2014, 15:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическая вероятность:(

3D Homer
Ааа... Я поняла свои ошибки, спасибо большое!! Всё получилось! Просто тупик был в том, что я не знала какие будут обозначения, где проведена пунктирная линия

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/