| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Посчитать соотношение полов в государстве http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=35224 |
Страница 1 из 3 |
| Автор: | VladymyrL [ 07 авг 2014, 13:00 ] |
| Заголовок сообщения: | Посчитать соотношение полов в государстве |
В просторах интернета наткнулся на любопытную задачку со следующей формулировкой: Цитата: Граждане некой страны очень давно живут по следующим правилам: семья производит на свет детей до первого мальчика, после чего дети в семье не рождаются. Рождаются только мальчики и девочки с равными вероятностями; близнецы не рождаются. Определить долю мужского населения в этой стране. Считать, что смертность не зависит от пола. В конце автор (уверенности в его авторстве нет, но назовём его так) задачи предлагает уже некоторое решение. Для любопытных я оставлю его ниже. ▼ Авторское решение
Но, по моему мнению, у этой задачи как минимум имеется ещё одно, немного более сложное, но более правдоподобное решение. Из условия задачи мы знаем, что вероятность рождения мальчика ([math]\mathsf{P} (b)[/math]) и девочки ([math]\mathsf{P} (g)[/math]) равны (50%). Посчитаем вероятность рождения i-го ребёнка: Если i = 0 (первый ребёнок): [math]\mathsf{P} _{0}(c) = 1[/math] для i > 0: [math]\mathsf{P} _{i}(c) = \prod\limits_{0}^{i-1} \mathsf{P} (g)[/math] Теперь давайте посчитаем среднее количество мальчиков в семье: [math]N_{b} = \sum\limits_{i} P_{i}(c) P(b) * 1[/math] [math]N_{b} = 1\!\!\not{\phantom{|}}\,2 + 1\!\!\not{\phantom{|}}\,4 + ... = 1[/math] Количество же девочек в среднем будет составлять: [math]N_{g} = \sum\limits_{i-1} P_{n}(c) * i + \sum\limits_{i} P_{i}(c) P(g) * 1[/math] Первая составляющая будет учитывать количество уже рождённых девочек. Вторая составляющая эквивалентна количеству девочек рождённых последними. [math]\sum\limits_{i-1} P_{n}(c) * i = 1 * 0 + 1\!\!\not{\phantom{|}}\,2 * 1 + 1\!\!\not{\phantom{|}}\,4 * 2 + ... = 2[/math] [math]N_{g} = 2 + 1[/math] Хотел бы услышать мнение сообщества на счёт второго решения. P.S. Считая воспользовался формулами: sum n/2^(n+1) sum n/2^(n) |
|
| Автор: | Shadows [ 07 авг 2014, 14:09 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Посчитать соотношение полов в государстве |
VladymyrL писал(а): Теперь давайте посчитаем среднее количество мальчиков в семье: Считать не надо. По условии в любой семье ровно один мальчик.В формуле для матожидания числа девочек в семье есть ошибка. вероятность что будет 0 девочек [math]p_0=\frac 1 2[/math]. Вобщем [math]p_n=\frac{1}{2^{n+1}}[/math] Так что матожидание числа девочек 1. Да и его считать тоже не надо. Распределение геометрическое. Формула для мат. ожидания геометрического распределения известна. |
|
| Автор: | zer0 [ 07 авг 2014, 21:36 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Посчитать соотношение полов в государстве |
Поскольку каждое отдельное рождение дает м/д с равной вероятостью, это соотношение останется верным, какие бы правила для следующего рождения не придумывали. |
|
| Автор: | Shadows [ 07 авг 2014, 21:58 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Посчитать соотношение полов в государстве |
zer0, это и есть авторское решение. Просто топикстартер решил, что углубленное погружение в теорию вероятностей даст другой ответ. Вот и погружаемся.
|
|
| Автор: | ivashenko [ 07 авг 2014, 23:21 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Посчитать соотношение полов в государстве |
Я думаю, что в данной задаче ответ не может быть 50 на 50, потому, что рождение нескольких девочек подряд, а затем мальчика - возможно, а рождение нескольких мальчиков, а затем девочки- невозможно. На мой взгляд при бесконечном существовании этого государства и бесконечном росте населения, а также при возможности девочке создать семью без мужа или полигиническую семью и родить детей, соотношение будет стремиться к 100 процентам девочек. При рассмотрении такого государства без учета создания новых семей и при условии , что люди могут жить и рожать вечно, отношение количества мальчиков к количеству девочек будет следующим: [math]\frac{0.5}{\sum_{n=0}^{\infty}{0.5^{n+1}}}[/math]
|
|
| Автор: | Talanov [ 08 авг 2014, 11:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Посчитать соотношение полов в государстве |
В первом приплоде 50/50. Второй приплод в два раза меньше, соотношение полов в нём также 50/50. Третий приплод в 4-ре раза меньше первого, соотношение полов 50/50. И так далее. Любой приплод даст соотношение 50/50, так что во всём всем обществе всегда будет 50/50. Таким способом можно только повлиять на рост численности, при сохранении соотношения полов. |
|
| Автор: | VladymyrL [ 08 авг 2014, 12:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Посчитать соотношение полов в государстве |
Спасибо всем участникам обсуждения. Внесу пару уточнений: Цитата: По условии в любой семье ровно один мальчик. Этого в условии нет. Есть указание того что в семье последним должен родится мальчик. Как вы думаете много семей умеет рожать последних мальчиков, которые в момент рождения следующего ребёнка становятся девочками, чтобы новорождённый стал мальчиком? А ведь только таким образом мы обеспечим строгое соблюдение правила, что в любой семье ровно один мальчик. Поэтому предлагаю отбросить это допущение как нелепицу, возникшую в результате, скорее всего шутливого характера самой задачи. Т.е. мы должны учитывать, что мальчиков в семьях может и не быть вовсе. А вот математическое ожидание рождения мальчика посчитать вполне разумно. Проясню чуть детальнее ход моих мыслей относительно среднего количества девочек в семье ведь оно вызвало затруднения. Давайте вспомним чему равно мат. ожидание для дискретных величин? [math]M_{x} =\sum\limits_{i} x_{i} * P_{i}[/math] И для мальчиков условие говорит нам о том что их не может быть больше чем один. Те. множество состоит из Xi = {1, 1, 1, ...} Для девочек же условие не вводит такого ограничения и множество Xi = {1, 2, 3, 4, ...} И вот мальчиков у нас [math]M(b) = \sum\limits_{i} \frac{ 1 }{ 2^{i+1} }[/math] а вот девочек [math]M(g) = \sum\limits_{i} \frac{ i }{ 2^{i+1} }[/math] И не смотря на это разница как оказывается не такая и большая.
|
|
| Автор: | Talanov [ 08 авг 2014, 12:43 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Посчитать соотношение полов в государстве |
VladymyrL писал(а): Т.е. мы должны учитывать, что мальчиков в семьях может и не быть вовсе. Конечно! Тогда процесс деторождения продолжается. До этого соотношение было 50/50, после останется 50/50. |
|
| Автор: | ivashenko [ 08 авг 2014, 15:08 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Посчитать соотношение полов в государстве |
Похоже я ошибся, но задача все же содержит парадокс:"При бесконечном рождении детей в сем"ях, общее количество мальчиков будет равно количеству семей n, т.е. в каждой семье будет ровно один мальчик и дальнейшее рождение детей прекратится". Количество же семей в которых не будет девочек окажется равным половине всех семей: [math]\frac{n}{2}[/math]. А во воторой половине семей окажется [math]\frac{n}{2}\sum_{k=0}^{\infty}{0.5^{-k}}=n[/math], т.е. количество девочек также равно количеству семей и равно количеству мальчиков. Здесь есть еще один парадокс: решение получается верным только в случае, когда рассматривается бесконечный процесс рождения. В реальности же решение существует лишь для количества семей равное [math]n=2^m[/math], потому, что половина или часть ребенка не может родиться. |
|
| Автор: | Talanov [ 08 авг 2014, 15:38 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Посчитать соотношение полов в государстве |
Да нет тут никаких парадоксов. Задача была бы интересной, если бы число детей в семье было бы ограничено. Например, не более 3-х. Вот теперь решайте. |
|
| Страница 1 из 3 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|