Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Посчитать соотношение полов в государстве
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=35224
Страница 1 из 3

Автор:  VladymyrL [ 07 авг 2014, 13:00 ]
Заголовок сообщения:  Посчитать соотношение полов в государстве

В просторах интернета наткнулся на любопытную задачку со следующей формулировкой:
Цитата:
Граждане некой страны очень давно живут по следующим правилам: семья производит на свет детей до первого мальчика, после чего дети в семье не рождаются. Рождаются только мальчики и девочки с равными вероятностями; близнецы не рождаются. Определить долю мужского населения в этой стране. Считать, что смертность не зависит от пола.

В конце автор (уверенности в его авторстве нет, но назовём его так) задачи предлагает уже некоторое решение. Для любопытных я оставлю его ниже.
▼ Авторское решение
Задача-ловушка. Правило «в семье ровно один мальчик» никак не влияет на вероятность рождения мальчика в целом в стране. Правильный ответ: 50%.

Но, по моему мнению, у этой задачи как минимум имеется ещё одно, немного более сложное, но более правдоподобное решение.

Из условия задачи мы знаем, что вероятность рождения мальчика ([math]\mathsf{P} (b)[/math]) и девочки ([math]\mathsf{P} (g)[/math]) равны (50%).
Посчитаем вероятность рождения i-го ребёнка:

Если i = 0 (первый ребёнок):

[math]\mathsf{P} _{0}(c) = 1[/math]

для i > 0:

[math]\mathsf{P} _{i}(c) = \prod\limits_{0}^{i-1} \mathsf{P} (g)[/math]

Теперь давайте посчитаем среднее количество мальчиков в семье:

[math]N_{b} = \sum\limits_{i} P_{i}(c) P(b) * 1[/math]

[math]N_{b} = 1\!\!\not{\phantom{|}}\,2 + 1\!\!\not{\phantom{|}}\,4 + ... = 1[/math]

Количество же девочек в среднем будет составлять:

[math]N_{g} = \sum\limits_{i-1} P_{n}(c) * i + \sum\limits_{i} P_{i}(c) P(g) * 1[/math]

Первая составляющая будет учитывать количество уже рождённых девочек. Вторая составляющая эквивалентна количеству девочек рождённых последними.

[math]\sum\limits_{i-1} P_{n}(c) * i = 1 * 0 + 1\!\!\not{\phantom{|}}\,2 * 1 + 1\!\!\not{\phantom{|}}\,4 * 2 + ... = 2[/math]

[math]N_{g} = 2 + 1[/math]

Хотел бы услышать мнение сообщества на счёт второго решения.

P.S. Считая воспользовался формулами:
sum n/2^(n+1)
sum n/2^(n)

Автор:  Shadows [ 07 авг 2014, 14:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать соотношение полов в государстве

VladymyrL писал(а):
Теперь давайте посчитаем среднее количество мальчиков в семье:
Считать не надо. По условии в любой семье ровно один мальчик.
В формуле для матожидания числа девочек в семье есть ошибка.
вероятность что будет 0 девочек [math]p_0=\frac 1 2[/math]. Вобщем [math]p_n=\frac{1}{2^{n+1}}[/math]
Так что матожидание числа девочек 1.
Да и его считать тоже не надо. Распределение геометрическое. Формула для мат. ожидания геометрического распределения известна.

Автор:  zer0 [ 07 авг 2014, 21:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать соотношение полов в государстве

Поскольку каждое отдельное рождение дает м/д с равной вероятостью, это соотношение останется верным, какие бы правила для следующего рождения не придумывали.

Автор:  Shadows [ 07 авг 2014, 21:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать соотношение полов в государстве

zer0, это и есть авторское решение. Просто топикстартер решил, что углубленное погружение в теорию вероятностей даст другой ответ. Вот и погружаемся. :D1

Автор:  ivashenko [ 07 авг 2014, 23:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать соотношение полов в государстве

Я думаю, что в данной задаче ответ не может быть 50 на 50, потому, что рождение нескольких девочек подряд, а затем мальчика - возможно, а рождение нескольких мальчиков, а затем девочки- невозможно. На мой взгляд при бесконечном существовании этого государства и бесконечном росте населения, а также при возможности девочке создать семью без мужа или полигиническую семью и родить детей, соотношение будет стремиться к 100 процентам девочек. При рассмотрении такого государства без учета создания новых семей и при условии , что люди могут жить и рожать вечно, отношение количества мальчиков к количеству девочек будет следующим:
[math]\frac{0.5}{\sum_{n=0}^{\infty}{0.5^{n+1}}}[/math]

Автор:  Talanov [ 08 авг 2014, 11:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать соотношение полов в государстве

В первом приплоде 50/50. Второй приплод в два раза меньше, соотношение полов в нём также 50/50. Третий приплод в 4-ре раза меньше первого, соотношение полов 50/50. И так далее. Любой приплод даст соотношение 50/50, так что во всём всем обществе всегда будет 50/50. Таким способом можно только повлиять на рост численности, при сохранении соотношения полов.

Автор:  VladymyrL [ 08 авг 2014, 12:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать соотношение полов в государстве

Спасибо всем участникам обсуждения.
Внесу пару уточнений:

Цитата:
По условии в любой семье ровно один мальчик.

Этого в условии нет. Есть указание того что в семье последним должен родится мальчик. Как вы думаете много семей умеет рожать последних мальчиков, которые в момент рождения следующего ребёнка становятся девочками, чтобы новорождённый стал мальчиком? :D1
А ведь только таким образом мы обеспечим строгое соблюдение правила, что в любой семье ровно один мальчик. Поэтому предлагаю отбросить это допущение как нелепицу, возникшую в результате, скорее всего шутливого характера самой задачи.
Т.е. мы должны учитывать, что мальчиков в семьях может и не быть вовсе. А вот математическое ожидание рождения мальчика посчитать вполне разумно.

Проясню чуть детальнее ход моих мыслей относительно среднего количества девочек в семье ведь оно вызвало затруднения.
Давайте вспомним чему равно мат. ожидание для дискретных величин?

[math]M_{x} =\sum\limits_{i} x_{i} * P_{i}[/math]

И для мальчиков условие говорит нам о том что их не может быть больше чем один. Те. множество состоит из Xi = {1, 1, 1, ...}
Для девочек же условие не вводит такого ограничения и множество Xi = {1, 2, 3, 4, ...}

И вот мальчиков у нас

[math]M(b) = \sum\limits_{i} \frac{ 1 }{ 2^{i+1} }[/math]

а вот девочек

[math]M(g) = \sum\limits_{i} \frac{ i }{ 2^{i+1} }[/math]

И не смотря на это разница как оказывается не такая и большая. :lol:

Автор:  Talanov [ 08 авг 2014, 12:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать соотношение полов в государстве

VladymyrL писал(а):
Т.е. мы должны учитывать, что мальчиков в семьях может и не быть вовсе.

Конечно! Тогда процесс деторождения продолжается. До этого соотношение было 50/50, после останется 50/50.

Автор:  ivashenko [ 08 авг 2014, 15:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать соотношение полов в государстве

Похоже я ошибся, но задача все же содержит парадокс:"При бесконечном рождении детей в сем"ях, общее количество мальчиков будет равно количеству семей n, т.е. в каждой семье будет ровно один мальчик и дальнейшее рождение детей прекратится". Количество же семей в которых не будет девочек окажется равным половине всех семей: [math]\frac{n}{2}[/math]. А во воторой половине семей окажется [math]\frac{n}{2}\sum_{k=0}^{\infty}{0.5^{-k}}=n[/math], т.е. количество девочек также равно количеству семей и равно количеству мальчиков. Здесь есть еще один парадокс: решение получается верным только в случае, когда рассматривается бесконечный процесс рождения. В реальности же решение существует лишь для количества семей равное [math]n=2^m[/math], потому, что половина или часть ребенка не может родиться.

Автор:  Talanov [ 08 авг 2014, 15:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Посчитать соотношение полов в государстве

Да нет тут никаких парадоксов. Задача была бы интересной, если бы число детей в семье было бы ограничено. Например, не более 3-х. Вот теперь решайте.

Страница 1 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/