Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Дисперсия комбинации нескольких случайных величин
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=34187
Страница 1 из 1

Автор:  drug007 [ 06 июн 2014, 15:37 ]
Заголовок сообщения:  Дисперсия комбинации нескольких случайных величин

Добрый день.
Такая ситуация - есть несколько случайных величин, которые представляют собой измерение одного и того же параметра разными датчиками с разной дисперсией. Объединяю данные от разных датчиков простым усреднением и вижу, что ошибка уменьшается. Есть желание найти аналитическую формулу, которая позволит определить конкретную результирующую дисперсию на основе дисперсий источников данных и алгоритма фильтрации. Можете сориентировать куда копать?

З.Ы. Был бы признателен, если бы прояснили момент - являются ли независимые измерения одной и той же величины разными инструментами корреллированными между собой? С одной стороны измерения независимы, с другой, они измеряют одну и ту же величину.

Автор:  Talanov [ 07 июн 2014, 05:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дисперсия комбинации нескольких случайных величин

Нужно находить средневзвешенное значение с весами обратно пропорциональными дисперсии.

Автор:  Talanov [ 07 июн 2014, 05:43 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дисперсия комбинации нескольких случайных величин

Что с чем коррелирует?

Автор:  drug007 [ 10 июн 2014, 17:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дисперсия комбинации нескольких случайных величин

Наконец-то я смог попасть сюда снова - капча суровая слишком.

Talanov писал(а):
Нужно находить средневзвешенное значение с весами обратно пропорциональными дисперсии.

Собственно так я и получаю результат. И я вижу по результату, что дисперсия уменьшается. Т.е., например, дисперсия была 200 единиц, после обработки дисперсия упала до 90 единиц. Но мне теперь необходимо знать, почему именно до 90, а не до 100 или до 80?
Я нашел, что дисперсия линейной комбинации независимых случайных величин X и Y равна:

[math]\mathsf{D} \left( \mathsf{a} \mathsf{X} + \mathsf{b} \mathsf{Y} \right) = a^{2} \mathsf{D} \left( \mathsf{X} \right) + b^{2} \mathsf{D} \left( \mathsf{Y} \right)[/math]

Если величины не являются независимыми, то нужно еще добавить ковариацию. Поэтому я спрашивал про корреляцию, чтобы уточнить нужна ли ковариация в данном случае или нет.

Если исходить, что два одновременных измерения одной и той же величины являются независимыми (и я уже знаю, что это так), то их средневзвешенное позволяет значительно снизить дисперсию и тем самым увеличить точность, например, если складывать две величины с весами 0.5, то при условии, что у них одинаковая дисперсия, результат будет иметь дисперсию в два раза меньше:

[math]\mathsf{D} \left( \mathsf{0.5} \mathsf{X} + \mathsf{0.5} \mathsf{Y} \right) = 0.5^{2} \mathsf{D} \left( \mathsf{X} \right) + 0.5^{2} \mathsf{D} \left( \mathsf{Y} \right) = 0.25 \mathsf{D} \left( \mathsf{X} \right) + 0.25 \mathsf{D} \left( \mathsf{X} \right) = 0.5 \mathsf{D} \left( \mathsf{X} \right) = 0.5 \mathsf{D} \left( \mathsf{X} \right)[/math]

Я правильные выводы сделал?

Автор:  Talanov [ 10 июн 2014, 17:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дисперсия комбинации нескольких случайных величин

Если измеряемая величина не изменяется, то ничего не коррелирует.

Автор:  drug007 [ 10 июн 2014, 17:32 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дисперсия комбинации нескольких случайных величин

Talanov писал(а):
Если измеряемая величина не изменяется, то ничего не коррелирует.

Величина изменяется в общем случае. Но ведь наблюдения независимые?

Автор:  Talanov [ 10 июн 2014, 22:51 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дисперсия комбинации нескольких случайных величин

Да.

Автор:  drug007 [ 11 июн 2014, 08:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Дисперсия комбинации нескольких случайных величин

Т.е. независимость и корреляция это разные вещи?
Вроде такой аналогии: два в велосипедиста едут по одной дороге, значит их маршруты сильно коррелированы, но независимы. А если взять два колеса одного велосипеда, то у них и пути будут коррелированы плюс путь заднего колеса будет зависим от пути переднего. Правильная аналогия?

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/