| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Геометрическая вероятность http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=33429 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | autoruner [ 17 май 2014, 15:50 ] |
| Заголовок сообщения: | Геометрическая вероятность |
На окружности радиуса R наудачу поставлены точки А, В и С. Какова вероятность того, что треугольник АВС остроугольный?
|
|
| Автор: | Dotsent [ 18 май 2014, 11:29 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Геометрическая вероятность |
Не знаю, может это Вам поможет: Что напрямую следует отсюда: http://ru.wikipedia.org/wiki/%CE%F0%F2% ... 5%ED%F2%F0 |
|
| Автор: | Radley [ 18 май 2014, 15:30 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Геометрическая вероятность |
Когда-то видел решение этой задачи, но не запомнил. Не 0,5? |
|
| Автор: | Radley [ 18 май 2014, 16:22 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Геометрическая вероятность |
Ясно, спасибо! А вообще окружность тут "вторична"? То есть сформулировать так "берём на плоскости 3 точки, не лежащие на одной прямой. Найти вероятность того, что они образуют треугольной треугольник", то ответ же не изменится? |
|
| Автор: | Dotsent [ 18 май 2014, 16:39 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Геометрическая вероятность |
Radley писал(а): Ясно, спасибо! А вообще окружность тут "вторична"? То есть сформулировать так "берём на плоскости 3 точки, не лежащие на одной прямой. Найти вероятность того, что они образуют треугольной треугольник", то ответ же не изменится? Изменится, конечно. В этом решении однозначная зависимость треугольник - ортоцентр обеспечивается заданной описанной окружностью и одной фиксированной точкой на ней. Другими словами, для каждого ортоцентра есть только 1 набор из остальных двух точек тр-ка, ну и наоборот, конечно, тоже. И в векторном равенстве ОН=ОА+ОВ+ОС, О - центр описанной окружности, Н - ортоцентр. |
|
| Автор: | Prokop [ 18 май 2014, 19:13 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Геометрическая вероятность |
Неприятная задача из-за различных трактовок условия. Вообще говоря, взаимно однозначного соответствия между треугольниками и их ортоцентрами маловато для геометрической вероятности (из-за выбора отображения может меняться отношение мер множеств). Можно предложить другое решение, в котором ответ тот же. Обозначим через [math]T[/math] случайное событие - появление остроугольного треугольника, Пусть [math]\xi[/math] наименьший центральный угол между точками [math]A[/math] и [math]B[/math] и предположим, что [math]\xi[/math] имеет равномерное распределение на [math]\left({0,\pi}\right)[/math] (такая трактовка условия задачи). Тогда по формуле полной вероятности имеем [math]P\left( T \right) = \frac{1}{\pi}\int\limits_0^\pi{P\left({\left. T \right|\;\xi = x}\right)}\;dx = \frac{1}{\pi}\int\limits_0^\pi{\frac{x}{{2\pi}}}\;dx = \frac{1}{4},[/math] т.к. из геометрических соображений [math]P\left({\left. T \right|\;\xi = x}\right) = \frac{x}{{2\pi}}[/math] |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|