Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Геометрическая вероятность
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=33429
Страница 1 из 1

Автор:  autoruner [ 17 май 2014, 15:50 ]
Заголовок сообщения:  Геометрическая вероятность

На окружности радиуса R наудачу поставлены точки А, В и С. Какова вероятность того, что треугольник АВС остроугольный? :o

Автор:  Dotsent [ 18 май 2014, 11:29 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическая вероятность

Не знаю, может это Вам поможет:
Изображение

Что напрямую следует отсюда:
http://ru.wikipedia.org/wiki/%CE%F0%F2% ... 5%ED%F2%F0

Автор:  Radley [ 18 май 2014, 15:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическая вероятность

Когда-то видел решение этой задачи, но не запомнил. Не 0,5?

Автор:  Dotsent [ 18 май 2014, 15:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическая вероятность

Нет, тут нужно зафиксировать одну точку (А), тогда только появится однозначное соответствие ортоцентр - треугольник АВС. Получится такая вот картинка:

Изображение

Откуда, 1/4.

Картинка получается достаточно элементарно, попробуйте сами её получить, исходя из векторного равенства: ОН=ОА+ОВ+ОС

Автор:  Radley [ 18 май 2014, 16:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическая вероятность

Ясно, спасибо! А вообще окружность тут "вторична"? То есть сформулировать так "берём на плоскости 3 точки, не лежащие на одной прямой. Найти вероятность того, что они образуют треугольной треугольник", то ответ же не изменится?

Автор:  Dotsent [ 18 май 2014, 16:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическая вероятность

Radley писал(а):
Ясно, спасибо! А вообще окружность тут "вторична"? То есть сформулировать так "берём на плоскости 3 точки, не лежащие на одной прямой. Найти вероятность того, что они образуют треугольной треугольник", то ответ же не изменится?


Изменится, конечно.

В этом решении однозначная зависимость треугольник - ортоцентр обеспечивается заданной описанной окружностью и одной фиксированной точкой на ней. Другими словами, для каждого ортоцентра есть только 1 набор из остальных двух точек тр-ка, ну и наоборот, конечно, тоже. И в векторном равенстве ОН=ОА+ОВ+ОС, О - центр описанной окружности, Н - ортоцентр.

Автор:  Prokop [ 18 май 2014, 19:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Геометрическая вероятность

Неприятная задача из-за различных трактовок условия.
Вообще говоря, взаимно однозначного соответствия между треугольниками и их ортоцентрами маловато для геометрической вероятности (из-за выбора отображения может меняться отношение мер множеств).
Можно предложить другое решение, в котором ответ тот же. Обозначим через [math]T[/math] случайное событие - появление остроугольного треугольника, Пусть [math]\xi[/math] наименьший центральный угол между точками [math]A[/math] и [math]B[/math] и предположим, что [math]\xi[/math] имеет равномерное распределение на [math]\left({0,\pi}\right)[/math] (такая трактовка условия задачи). Тогда по формуле полной вероятности имеем
[math]P\left( T \right) = \frac{1}{\pi}\int\limits_0^\pi{P\left({\left. T \right|\;\xi = x}\right)}\;dx = \frac{1}{\pi}\int\limits_0^\pi{\frac{x}{{2\pi}}}\;dx = \frac{1}{4},[/math]
т.к. из геометрических соображений
[math]P\left({\left. T \right|\;\xi = x}\right) = \frac{x}{{2\pi}}[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/