Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Интересная задача
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=32040
Страница 1 из 3

Автор:  compl [ 30 мар 2014, 12:06 ]
Заголовок сообщения:  Интересная задача

Остап Бендер достает очередной гарнитур из 12 стульев. Вероятность того, что в этом гарнитуре спрятан клад равна Р. После вскрытия первых 11 стульев клад не обнаружен. Какова вероятность того, что он есть в 12 стуле?

Автор:  Yurik [ 30 мар 2014, 12:55 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интересная задача

Вы подумайте. Вероятность того, что есть клад задана. Сколько бы стульев не вскрыли, и в них клада нет, то вероятность того, что в оставшихся стульях клад есть, останется той же самой.

Автор:  Talanov [ 30 мар 2014, 13:15 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интересная задача

Yurik писал(а):
Вероятность того, что есть клад задана. Сколько бы стульев не вскрыли, и в них клада нет, то вероятность того, что в оставшихся стульях клад есть, останется той же самой.

А разве не растёт?
Р/12, Р/11, Р/10 и т.д.

Автор:  Yurik [ 30 мар 2014, 13:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интересная задача

Talanov писал(а):
А разве не растёт?
Р/12, Р/11, Р/10 и т.д.

Мне кажется, так рассуждать сложнее.

Автор:  Human [ 30 мар 2014, 17:53 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интересная задача

Решим задачу в предположении, что

1. Клад может находиться только в одном из стульев;
2. Стулья неотличимы, то есть вероятности обнаружить клад в каждом стуле одинаковы (байесовская интерпретация вероятности)

Пусть событие A - клад находится в 12-ом стуле, событие B - клад находится в одном из остальных 11-ти. Тогда нас просят найти вероятность [math]P\left(A|\bar B\right)[/math]. Воспользуемся теоремой Байеса:

[math]P\left(A|\bar B\right)=P\left(\bar B|A\right)\frac{P(A)}{P\left(\bar B\right)}[/math]

Заметим, что [math]P\left(\bar B|A\right)=1[/math]. Действительно, если клад лежит в 12-ом стуле, то он точно не лежит ни в одном из остальных 11-ти (предположение № 1). Отсюда, в частности, следует, что [math]P\left(A\bar B\right)=P(A)[/math]. Тогда

[math]P\left(\bar B\right)=P\left(A\bar B\right)+P\left(\bar A\bar B\right)=P(A)+1-p[/math]

и значит

[math]P\left(A|\bar B\right)=\frac{P(A)}{P(A)+1-p}[/math]

Согласно предположению №2 [math]P(A)=\frac p{12}[/math]. После подстановки окончательно получаем:

[math]P\left(A|\bar B\right)=\frac p{12-11p}[/math]

Автор:  Yurik [ 31 мар 2014, 09:50 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интересная задача

Human писал(а):
Пусть событие A - клад находится в 12-ом стуле, событие B - клад находится в одном из остальных 11-ти. Тогда нас просят найти вероятность [math]P\left({A|\bar B}\right)[/math]

Никто нас этого не просит, эта вероятность задана и равна [math]P[/math].

Автор:  Human [ 31 мар 2014, 11:49 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интересная задача

Yurik писал(а):
Никто нас этого не просит, эта вероятность задана и равна [math]P[/math].


Как-то неубедительно. Учитывая, что кроме голых слов Вы свою версию никак не доказываете.

Давайте рассмотрим задачу попроще. Пусть у нас есть три стула, и в одном из них с одинаковой вероятностью лежит клад. Тогда вероятность того, что клад лежит в первых двух стульях, равна [math]\frac23[/math], а в третьем - [math]\frac13[/math]. Пусть я вскрыл первый стул и обнаружил, что клада там нет. Вы утверждаете, что вероятность обнаружить клад во втором стуле равна [math]\frac23[/math]? Но это же, очевидно, неверно: те же самые рассуждения я могу применить к 1-ому и 3-ему стулу и в итоге получу, что вероятность обнаружить клад уже в 3-ем стуле равна [math]\frac23[/math]. Ответ не должен зависеть от номера стула, они ведь изначально неотличимы. Правильный ответ: вероятность станет равной [math]\frac12[/math].

Автор:  Yurik [ 31 мар 2014, 11:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интересная задача

Human писал(а):
Как-то неубедительно.

И что же тут неубедительного? По условию в одиннадцати стульях клада нет, остаётся один, а вероятность-то задана.

Автор:  Talanov [ 31 мар 2014, 12:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интересная задача

Клад с вероятностью Р находится в гарнитуре. С вероятностью 1-Р его там может не быть.
Вероятность обнаружить клад в первом стуле (для гарнитура в 3 стула) равна Р/3. Клад не обнаружен. Тогда вероятность для второго Р/2. Тоже мимо. Тогда для третьего стула Р/1=Р. И не важно сколько стульев 3, 12 или 100. На последний всегда будет приходиться Р.

Автор:  Yurik [ 31 мар 2014, 12:06 ]
Заголовок сообщения:  Re: Интересная задача

Talanov
Вы меня убедили. Я был неправ.

Страница 1 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/