Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вероятность повтора случайного числа. Две задачи
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=31167
Страница 1 из 1

Автор:  tartrat [ 22 фев 2014, 12:06 ]
Заголовок сообщения:  Вероятность повтора случайного числа. Две задачи

Здравствуйте.
Удовлетворите, пожалуйста мое любопытство, объяснив решение двух задач.

1). Генератор случайных чисел выбрасывает целые числа два раза (события независимы друг от друга) в диапазоне от 1 до 100. Какова вероятность совпадения этих чисел.

Если я правильно понимаю мы перемножаем вероятности 1:100 * 1:100 = 1:10000 получается, верно?

2). Вторая задача несколько посложнее. Все тот же генератор чисел от 1 до 100. Вопрос: сколько итераций генератора нужно обработать что бы выпало 100% чисел диапазона с вероятностью 99,9%?

Вероятно, решение связано с т. н. "золотой теоремой Бернулли", но как конкретно ее применить я не знаю.

Автор:  tartrat [ 22 фев 2014, 14:36 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вероятность повтора случайного числа. Две задачи

Смоделировал задачу, написав программу выполняющую 10000 итераций - эмпирическим путем получилось вывести это число: для диапазона от 1 до 100: ~546.07, для диапазона от 1 до 50, например получилось ~234.02, а для диапазона от 1 до 10 ~28.64.

Хотелось бы получить готовую формулу. Знатоки ТВ, ау, вы тут есть или вас тут нет?

Автор:  venjar [ 22 фев 2014, 18:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вероятность повтора случайного числа. Две задачи

tartrat писал(а):

1). Генератор случайных чисел выбрасывает целые числа два раза (события независимы друг от друга) в диапазоне от 1 до 100. Какова вероятность совпадения этих чисел.

Если я правильно понимаю мы перемножаем вероятности 1:100 * 1:100 = 1:10000 получается, верно?


Нет, не верно.
Для второго числа есть 100 равновозможных исхода (от 1 до 100). Из них только один исход благоприятен для события А - второе выбранное число совпало с первым.
Поэтому Р(А)=1/100 .

Автор:  tartrat [ 22 фев 2014, 19:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вероятность повтора случайного числа. Две задачи

Да, venjar, спасибо я осознал свою ошибку: первое число на момент выброса второго уже определено поэтому вероятность совпадения будет 0,01 или 1:100. Вот если бы мы задавали нужное число от одного до 100, а потом делали бы два броска ГСЧ, то тогда вероятность совпадения двух чисел с изначально заданным будет 1:10000 или 0,0001, правильно?

А что вы можете сказать по второй задаче?

Автор:  venjar [ 22 фев 2014, 20:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вероятность повтора случайного числа. Две задачи

tartrat писал(а):
Вот если бы мы задавали нужное число от одного до 100, а потом делали бы два броска ГСЧ, то тогда вероятность совпадения двух чисел с изначально заданным будет 1:10000 или 0,0001, правильно?



Да

tartrat писал(а):


А что вы можете сказать по второй задаче?


Да уж. Она, конечно, сложнее. Корректнее поставить вопрос так: ....с вероятностью не менее 99,9%? Кстати, можно было бы поставить границу вероятности послабее. А так ответ, думаю, n= ОЧЕНЬ много. :)

Надо в общем виде найти вероятность Р(А) события:
А - после проведения n испытаний появлялись все числа от 1 до 100.
Затем решать неравенство Р(А)>=0.999 относительно n.
Думаю, проще искать сначала вероятность противоположного события: (неА).
Если ввести события:
А1 - во всех испытаниях цифра 1 не появилась,
А2 - во всех испытаниях цифра 2 не появилась,
.
.
.
А100 - во всех испытаниях цифра 100 не появилась.

Тогда:

(неА)=А1+А2+...+А100

А далее формула включений-исключений для вероятности суммы совместных событий.
Возможно, удастся.
Проще пока не вижу.

Автор:  tartrat [ 23 фев 2014, 09:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вероятность повтора случайного числа. Две задачи

venjar, спасибо, а проще видимо никак не получится :(

Автор:  venjar [ 23 фев 2014, 09:44 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вероятность повтора случайного числа. Две задачи

Попробуйте, скажем, не для 1 - 100, а 1 - 4.
Будет видно, насколько это сложно или терпимо при 1 - 100..

Автор:  Talanov [ 23 фев 2014, 11:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вероятность повтора случайного числа. Две задачи

tartrat писал(а):
Все тот же генератор чисел от 1 до 100. Вопрос: сколько итераций генератора нужно обработать что бы выпало 100% чисел диапазона с вероятностью 99,9%

Иными словами, необходимо найти минимальный об'ем выборки. в которой бы содержались все числа от 1 до 100 с вероятностью 99.9%?

Автор:  tartrat [ 25 фев 2014, 09:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вероятность повтора случайного числа. Две задачи

Talanov, ну пусть так, лишь бы полученные расчетом числа были близки к данным полученным практическим путем.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/