Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задача про кости
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=30916
Страница 1 из 1

Автор:  BOL [ 10 фев 2014, 16:27 ]
Заголовок сообщения:  Задача про кости

Подбросили 8 игральных костей.
Найдите вероятность того, что выпадут ровно 3 различных числа.


Ω- пространство элементарных событий = 6^8
A - событие= выпало ровно 3 различных числа.

Вероятность этого события P(A) =A/Ω

Вот только у меня проблема это A посчитать(

Автор:  Prokop [ 11 фев 2014, 17:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про кости

Надо обязательно так решать?
Можно попробовать использовать теоремы про вероятности суммы и произведения событий.

Автор:  venjar [ 11 фев 2014, 20:26 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про кости

Удивлен, если это учебная задача.
Если я правильно понял условие, то все варианты ее решения, которые приходили в голову, были такими громоздкими, что отбивали охоту к осуществлению.

Автор:  zer0 [ 12 фев 2014, 09:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про кости

Точно. Имхо, быстрее програмку написать.
И программка посчитала число комбинаций с 3 различными числами: 115920

Автор:  Human [ 12 фев 2014, 17:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про кости

Я бы не сказал, что она такая уж громоздкая, но что с ней нужно повозиться - это да.

Решим сначала следующую вспомогательную задачу: сколько [math]n[/math]-значных чисел можно составить из цифр [math]k[/math]-ичной системы так, чтобы каждая цифра этой системы присутствовала в записи числа хотя бы один раз ([math]n\geqslant k[/math])?

Обозначим искомое количество через [math]B_k^{(n)}[/math]. Тогда несложно получить следующее рекуррентное соотношение:

[math]B_1^{(n)}=1,\ B_k^{(n)}=k^n-\sum_{i=1}^{k-1}C_k^iB_i^{(n)}[/math]

где [math]C_k^i[/math] - число сочетаний из [math]k[/math] по [math]i[/math]. Действительно, [math]k^n[/math] - количество всех чисел, и из него нужно убрать числа, в которых хотя бы один раз присутствуют какие-либо [math]i[/math] цифр (и только они), где [math]i=1,\ldots,k-1[/math]. Коэффициент [math]C_k^i[/math] как раз указывает на количество способов выбрать какие-либо [math]i[/math] цифр из имеющихся [math]k[/math].

Существует явное выражение для числа [math]B_k^{(n)}[/math]:

[math]B_k^{(n)}=\sum_{i=1}^k(-1)^{k-i}C_k^ii^n[/math]

В частности, при [math]n=8,\ k=3[/math] получаем [math]3^8-3\cdot2^8+3=5796[/math]. В принципе, необязательно использовать именно явное выражение, достаточно рекуррентного. Просто результат довольно примечательный, и мне хотелось его здесь указать :)

Теперь возвращаемся к исходной задаче. Выбрать 3 числа из 6 можно [math]C_6^3=20[/math] способами. Как только выбраны эти 3 числа мы как раз приходим к разобранной выше задаче. Итого способов [math]20\cdot5796=115920[/math], что как раз совпадает с тем, что указал zer0.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/