| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Задача про кости http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=30916 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | BOL [ 10 фев 2014, 16:27 ] |
| Заголовок сообщения: | Задача про кости |
Подбросили 8 игральных костей. Найдите вероятность того, что выпадут ровно 3 различных числа. Ω- пространство элементарных событий = 6^8 A - событие= выпало ровно 3 различных числа. Вероятность этого события P(A) =A/Ω Вот только у меня проблема это A посчитать( |
|
| Автор: | Prokop [ 11 фев 2014, 17:11 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача про кости |
Надо обязательно так решать? Можно попробовать использовать теоремы про вероятности суммы и произведения событий. |
|
| Автор: | venjar [ 11 фев 2014, 20:26 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача про кости |
Удивлен, если это учебная задача. Если я правильно понял условие, то все варианты ее решения, которые приходили в голову, были такими громоздкими, что отбивали охоту к осуществлению. |
|
| Автор: | zer0 [ 12 фев 2014, 09:14 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача про кости |
Точно. Имхо, быстрее програмку написать. И программка посчитала число комбинаций с 3 различными числами: 115920 |
|
| Автор: | Human [ 12 фев 2014, 17:28 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Задача про кости |
Я бы не сказал, что она такая уж громоздкая, но что с ней нужно повозиться - это да. Решим сначала следующую вспомогательную задачу: сколько [math]n[/math]-значных чисел можно составить из цифр [math]k[/math]-ичной системы так, чтобы каждая цифра этой системы присутствовала в записи числа хотя бы один раз ([math]n\geqslant k[/math])? Обозначим искомое количество через [math]B_k^{(n)}[/math]. Тогда несложно получить следующее рекуррентное соотношение: [math]B_1^{(n)}=1,\ B_k^{(n)}=k^n-\sum_{i=1}^{k-1}C_k^iB_i^{(n)}[/math] где [math]C_k^i[/math] - число сочетаний из [math]k[/math] по [math]i[/math]. Действительно, [math]k^n[/math] - количество всех чисел, и из него нужно убрать числа, в которых хотя бы один раз присутствуют какие-либо [math]i[/math] цифр (и только они), где [math]i=1,\ldots,k-1[/math]. Коэффициент [math]C_k^i[/math] как раз указывает на количество способов выбрать какие-либо [math]i[/math] цифр из имеющихся [math]k[/math]. Существует явное выражение для числа [math]B_k^{(n)}[/math]: [math]B_k^{(n)}=\sum_{i=1}^k(-1)^{k-i}C_k^ii^n[/math] В частности, при [math]n=8,\ k=3[/math] получаем [math]3^8-3\cdot2^8+3=5796[/math]. В принципе, необязательно использовать именно явное выражение, достаточно рекуррентного. Просто результат довольно примечательный, и мне хотелось его здесь указать Теперь возвращаемся к исходной задаче. Выбрать 3 числа из 6 можно [math]C_6^3=20[/math] способами. Как только выбраны эти 3 числа мы как раз приходим к разобранной выше задаче. Итого способов [math]20\cdot5796=115920[/math], что как раз совпадает с тем, что указал zer0. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|