Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Согласуется ли правило подсчета вероятностей
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=30456
Страница 1 из 2

Автор:  dobby [ 21 янв 2014, 10:52 ]
Заголовок сообщения:  Согласуется ли правило подсчета вероятностей

Возникли затруднения:

1. Вероятность выбора точки из плоской области, лежащей внутри круга радиуса 1 с центром в начале координат, принимается пропорциональной кубу длины проекции этой области на ось абсцисс. Согласуется ли такое правило подсчета вероятностей с требованиями, предъявляемыми к вероятности?

Пусть А - событие, состоящее в выборе точки из верхнего полукруга, В - событие, состоящее в выборе точки из нижнего полукруга. Тогда, для любых двух несовместных событий, должно выполняться P{A+B}=P{A}+P{B}. Событие A+B - достоверное, т.е. P{A+B}=1. В соответствии с предлагаемым определением, P{A}=P{B}=P{A+B}, что возможно лишь если эти вероятности равны нулю, но последнее противоречит отмеченной выше достоверности события A+B.

Верно ли?

Автор:  Yurik [ 21 янв 2014, 11:05 ]
Заголовок сообщения:  Re: Согласуется ли правило подсчета вероятностей

dobby писал(а):
должно выполняться P{A+B}=P{A}+P{B}.

И выполняется, но точка-то одна, стало быть, вероятность одного из событий равна нулю.
dobby писал(а):
P{A}=P{B}=P{A+B}

А это совсем не так [math]P(A+B)=P(A)[/math] или [math]P(A+B)=P(B)[/math]

Автор:  grigoriew-grisha [ 21 янв 2014, 11:52 ]
Заголовок сообщения:  Re: Согласуется ли правило подсчета вероятностей

Вы правы: такое определение вероятности не отвечает аксиомам вероятностного пространства. В частности, сумма вероятностей двух несовместных событий не обязательно равна сумме их вероятностей.

Автор:  dobby [ 21 янв 2014, 13:25 ]
Заголовок сообщения:  Re: Согласуется ли правило подсчета вероятностей

Задача из той же оперы(думаю модераторы не осудят :) ):

2. Из множества точек, расположенных на отрезке [math][0,\ 1][/math], случайным образом выбирают одну, причем полагают вероятность выбора из подотрезка [math][ \alpha ,\ \beta ][/math] пропорциональной [math]\sin{ \beta }-\sin{ \alpha }[/math]. Согласуется ли такой способ подсчета вероятностей с требованиями, предъявляемыми к вероятности?

Из условия задачи
[math]P\{M\ \in \ [ \alpha ,\ \beta ]\}=k\cdot (\sin{ \beta }-\sin{ \alpha } )[/math].

Условие нормировки вероятности позволяет определить значение коэффициента пропорциональности [math]k[/math]:
[math]P\{M\ \in\ [0,\ 1]\}=k\cdot (\sin{1}-\sin{0} )=1\ \Rightarrow \ k=\frac{ 1 }{ \sin{1} }[/math].

Пусть [math][ \alpha ,\ \beta ][/math] и [math][ \beta ,\ \gamma ][/math] - смежные подпромежутки основного промежутка. Тогда
[math]P\{M\ \in\ [ \alpha ,\ \beta ] \cup [ \beta ,\ \gamma ]\}=P\{M\ \in\ [ \alpha ,\ \gamma ]\}=\frac{ 1 }{ \sin{1} }\cdot (\sin{ \gamma }-\sin{ \alpha } )[/math].

В то же время
[math]P\{M\ \in\ [ \alpha ,\ \beta ]\}=\frac{ 1 }{ \sin{1} }\cdot (\sin{ \beta }-\sin{ \alpha } )[/math], [math]P\{M\ \in\ [ \beta ,\ \gamma ]\}=\frac{ 1 }{ \sin{1} }\cdot (\sin{ \gamma }-\sin{ \beta } )[/math],

Таким образом, в случае смежных промежутков правило сложения выполняется.

Если проверить остальные требования, то должно получиться согласование.


Примерно так?

Автор:  dobby [ 21 янв 2014, 13:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Согласуется ли правило подсчета вероятностей

Yurik
grigoriew-grisha
И да - спасибо за уделенное время. :)

Автор:  grigoriew-grisha [ 21 янв 2014, 15:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Согласуется ли правило подсчета вероятностей

У последнего распределения вероятностей даже есть плотность, так что все "срастется". :lol:

Автор:  zer0 [ 21 янв 2014, 17:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Согласуется ли правило подсчета вероятностей

В соответствии с предлагаемым определением, P{A}=P{B}=P{A+B} :shock: С какой стати? Если под словом "вероятность" ТС понимает "плотность вероятности", то это заключение ошибочно. А если нет, то вообще непонятно, что он имеет в виду.

Автор:  dobby [ 21 янв 2014, 17:42 ]
Заголовок сообщения:  Re: Согласуется ли правило подсчета вероятностей

Цитата:
В соответствии с предлагаемым определением, P{A}=P{B}=P{A+B} :shock: С какой стати?

"Вероятность выбора точки из плоской области, лежащей внутри круга радиуса 1 с центром в начале координат, принимается пропорциональной кубу длины проекции этой области на ось абсцисс"

Автор:  zer0 [ 21 янв 2014, 21:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Согласуется ли правило подсчета вероятностей

"Вероятность выбора точки из плоской области, лежащей внутри круга радиуса 1 с центром в начале координат, принимается пропорциональной кубу длины проекции этой области на ось абсцисс" - это просто набор слов :)

Автор:  dobby [ 22 янв 2014, 07:57 ]
Заголовок сообщения:  Re: Согласуется ли правило подсчета вероятностей

Цитата:
это просто набор слов

А разве это не предлагаемое определение вероятности? Мм?

Страница 1 из 2 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/