Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Вычисляется ли биномиальный коэффициент от отрицательны чисе
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=29913
Страница 1 из 1

Автор:  tetroel [ 06 янв 2014, 20:41 ]
Заголовок сообщения:  Вычисляется ли биномиальный коэффициент от отрицательны чисе

Доброго времени суток. Заранее прошу прощения, если залез не в тот раздел, но вроде бы не было других вариантов.

При решении одной задачи возник вопрос, можно ли вычислять, например, такие вот радости:
[math]{0 \choose 3}[/math], [math]{0 \choose -2}[/math], [math]{1 \choose -1}[/math] и т.д. Определены ли такие операции?

Необходимо было найти такие [math]n[/math], чтобы [math]{n \choose 3}=3*{n \choose n-2}[/math], откуда вылезли такие [math]n[/math]:
[math]\left[\!\begin{aligned} & n=0 \\ & n=1 \\ & n=11 \end{aligned}\right.[/math]
C [math]n=11[/math] всё распрекрасно, а вот уже с [math]n=1[/math] начинаются проблемы. Mathematica спокойно вычисляет предложенные коэффициенты и просто пишет, что получается ноль, но не получу ли я на экзамене за такие радости по ушам от преподавателя?
Заранее спасибо

Автор:  dobby [ 06 янв 2014, 20:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисляется ли биномиальный коэффициент от отрицательны чисе

Насколько я понимаю, то [math]{n \choose 3}=3{n \choose n-2}\ \Leftrightarrow \ C_{n}^{3}=3C_{n}^{n-2}\ \Rightarrow \ n=11.[/math]

Автор:  Prokop [ 06 янв 2014, 22:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисляется ли биномиальный коэффициент от отрицательны чисе

Если записать число сочетаний с помощью гамма-функции
[math]C_n^k = \frac{{\Gamma \left({n + 1}\right)}}{{\Gamma \left({k + 1}\right)\Gamma \left({n - k + 1}\right)}}[/math]
то Ваше уравнение примет вид
[math]\frac{{\Gamma \left({n + 1}\right)}}{{\Gamma \left( 4 \right)\Gamma \left({n - 3}\right)}}= 3\frac{{\Gamma \left({n + 1}\right)}}{{\Gamma \left({n - 1}\right)\Gamma \left( 3 \right)}}[/math]
Гамма-функция в нуле и в отрицательных целых числах имеет полюсы. Поэтому при [math]n=1[/math] в знаменателях левой и правой части возникают большие величины. Поэтому Mathematica выдаёт нули.

Автор:  tetroel [ 06 янв 2014, 22:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Вычисляется ли биномиальный коэффициент от отрицательны чисе

Prokop писал(а):
Поэтому при [math]n=1[/math] в знаменателях левой и правой части возникают большие величины. Поэтому Mathematica выдаёт нули.

То есть, если мы ещё не вводили гамма-функцию, то преподаватель, ясное дело, такое объяснение не примет. Хорошо. Как тогда отмести корень [math]n=1[/math]? [math]n=0[/math] отметается как не принадлежащий натуральным числам, а в задаче стоит такое ограничение, я не дописал.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/