Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задача по ТВ, комбинаторика
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=29614
Страница 5 из 5

Автор:  Guiltless_girl [ 02 янв 2014, 14:27 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача по ТВ, комбинаторика

Если вы не против, я продолжу вести эту тему.
Решила некоторое количество задач на использование схемы Бернулли и ее аппроксимаций, проверьте решения, если не сложно, пожалуйста.

1) Игральный кубик бросается 6 раз. Сосчитать вероятность того, что единица выпадет ровно 3 раза, а шестерка ровно один раз.

Решала с применением схемы Бернулли.

[math]\[C_n^m{p^m}{q^{n - m}}\][/math] [math]\[p = \frac{1}{6},q = \frac{5}{6},n = 6,m = 3;5\][/math]
[math]\[C_6^3{(\frac{1}{6})^3}{(\frac{5}{6})^3} = 0,053\][/math]
[math]\[C_6^1\frac{1}{6}{(\frac{5}{6})^5} = 0,4\][/math]
[math]\[P = 0,053 \cdot 0,4 = 0,021\][/math]

2) Испорченный бумеранг возвращается с вероятностью 0,0001. 10000 туземцев независимо друг от друга пытаются выбросить свои испорченные бумеранги. Оценить вероятность того, что бумеранг вернется по крайней мере к 3 туземцам.

[math]\[p = 0,0001,n = 10000,m = 3\][/math]
Т.к. [math]\[p \leqslant 0,1,np \leqslant 9\][/math] , применим формулу Пуассона.
[math]\[\lambda = np = 1\][/math]
[math]\[{P_{10000}}(0) \approx \frac{{{1^0}}}{{0!}}{e^{ - 1}} \approx 0,37\][/math]
[math]\[{P_{10000}}(1) \approx \frac{{{1^1}}}{{1!}}{e^{ - 1}} \approx 0,37\][/math]
[math]\[{P_{10000}}(2) \approx \frac{{{1^2}}}{{2!}}{e^{ - 1}} \approx 0,18\][/math]
[math]\[{P_{10000}}(2,10000) \approx 1 - 0,37 - 0,37 - 0,18 \approx 0,08\][/math]

3) Симметричная монета бросается 10000 раз. Оценить вероятность того, что число выпавших гербов будет больше 4000, но меньше 6000.

Здесь применим интегральную формулу Муавра-Лапласа.

[math]\[p = 0,5,q = 0,5,n = 10000,{m_1} = 4000,{m_2} = 6000\][/math]
[math]\[npq = 10000 \cdot 0,5 \cdot 0,5\][/math]
[math]\[{a_{10000}} = \frac{{4000 - 5000}}{{2500}} = - 0,4\][/math]
[math]\[{b_{10000}} = \frac{{6000 - 5000}}{{2500}} = 0,4\][/math]
[math]\[{P_{10000}}(4000,6000) = \varphi (0,4) - \varphi ( - 0,4) = \varphi (0,4) + \varphi (0,4) = 0,37 + 0,37 = 0,74\][/math]

4) Ленивый студент получает оценку отлично с вероятностью 0,1. Оценить вероятность того, что среди 10000 ленивых студентов отлично получат ровно 1000 студентов.

Здесь применим локальную теорему Муавра-Лапласа.

[math]\[p = 0,1,q = 0,9,n = 10000,m = 1000\][/math]
[math]\[\sqrt {npq} = \sqrt {10000 \cdot 0,1 \cdot 0,9} = 30\][/math]
[math]\[{x_{10000}} = \frac{{1000 - 1000}}{{30}} = 0\][/math]
[math]\[{P_{10000}}(1000) = \frac{{\varphi (0)}}{{30}} = \frac{{0,4}}{{30}} = 0,013\][/math]

5) Игральный кубик бросается 600 раз. Оценить вероятность того, что "шестерка" выпадет ровно 100 раз.

Также применим локальную теорему Муавра-Лапласа.

[math]\[p = \frac{1}{6},q = \frac{5}{6},n = 600,m = 100\][/math]
[math]\[\sqrt {npq} = \sqrt {600 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6}} = 22,4\][/math]
[math]\[{x_{600}} = \frac{{100 - 100}}{{22,4}} = 0\][/math]
[math]\[{P_{600}}(100) = \frac{{\varphi (0)}}{{22,4}} = \frac{{0,4}}{{22,4}} = 0,018\][/math]

6) Подлежащий тестированию прибор признается негодным с вероятностью 0,0001. Тестируются 10000 приборов. Оценить вероятность того, что число забракованных приборов будет не больше 2-х.

Применим формулу Пуассона.

[math]\[p = 0,0001,n = 10000\][/math]
[math]\[\lambda = np = 1\][/math]
[math]\[{P_{10000}}(0) = \frac{{{1^0}}}{{0!}}{e^{ - 1}} \approx 0,37\][/math]
[math]\[{P_{10000}}(1) = \frac{{{1^1}}}{{1!}}{e^{ - 1}} \approx 0,37\][/math]
[math]\[{P_{10000}}(2) = \frac{{{1^2}}}{{2!}}{e^{ - 1}} \approx 0,18\][/math]
[math]\[P = 0,37 + 0,37 + 0,18 = 0,92\][/math]

7) Испорченный бумеранг возвращается с вероятностью p. Один раз в год n туземцев независимо друг от друга пытаются выбросить свои испорченные бумеранги. Пусть n – число туземцев, кому это удалось. При p = 3=5; n = 5000 оценить вероятность того, что n > 2000.

Здесь у меня возникли вопросы, предположила, что надо решать с использованием ЦПТ, но Ф получается, надо брать аж от 28,8, мне кажется, тут ошибка...

Автор:  stydent_123 [ 05 янв 2014, 21:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача по ТВ, комбинаторика

В 3й задаче вы делите на 2500, а по формуле, если я не ошибаюсь, нужно делить на корень из npq, т.е. на корень из 2500

Автор:  Boris Skovoroda [ 06 янв 2014, 11:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача по ТВ, комбинаторика

При решении первой задачи (игральный кубик бросается 6 раз ...) нужно использовать полиномиальное распределение.

Страница 5 из 5 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/