Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доказать, что мат ожидание конечно
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=29165
Страница 1 из 1

Автор:  R_e_n [ 17 дек 2013, 02:47 ]
Заголовок сообщения:  Доказать, что мат ожидание конечно

Добрый день. Помогите, пожалуйста, с задачкой:

Пусть случайная величина [math]X[/math] такова, что[math]\lim_n \frac{P(|X|>2n)}{P(|X|>n)}< \frac 1 2[/math]. Доказать, что тогда [math]E|X| < \infty[/math].

Я думаю тут надо какой-то признак сходимости применить, только какой не знаю
[math]E|X|=2\int_0^{+\infty}x d(P(x))[/math]

Автор:  grigoriew-grisha [ 17 дек 2013, 11:38 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что мат ожидание конечно

Утверждение верно даже для верхнего предела. Конечность матожидания следует из сходимости интеграла [math]\int\limits_1^{+\infty}P(\vert X \vert >x)dx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\int\limits_{2^n}^{2^{n+1}}P(\vert X \vert >x)dx\le \sum\limits_{n=0}^{\infty}2^{n+1}P(\vert X \vert >2^n)[/math].
Узреть сходимость последнего ряда из условий задачи уже нетрудно, вот и сделайте это самостоятельно. :crazy:

Автор:  R_e_n [ 17 дек 2013, 16:02 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что мат ожидание конечно

grigoriew-grisha писал(а):
Утверждение верно даже для верхнего предела. Конечность матожидания следует из сходимости интеграла [math]\int\limits_1^{+\infty}P(\vert X \vert >x)dx=\sum\limits_{n=0}^{\infty}\int\limits_{2^n}^{2^{n+1}}P(\vert X \vert >x)dx\le \sum\limits_{n=0}^{\infty}2^{n+1}P(\vert X \vert >2^n)[/math].
Узреть сходимость последнего ряда из условий задачи уже нетрудно, вот и сделайте это самостоятельно. :crazy:


Вот это как раз сделать и трудно:

Пусть начиная с номера m выполняется

[math]\frac{P(|X|>2^{m+1})}{P(|X|>2^m)}< \frac 1 2[/math]

Тогда

[math]2^{m+2}{P(|X|>2^{m+1})} < 2^{m+2} \frac 12 {P(|X|>2^m)}=2^{m+1}{P(|X|>2^m)}[/math]

[math]2^{m+3}{P(|X|>2^{m+2})} < 2^{m+3} \frac 12 {P(|X|>2^{m+1})} < 2^{m+1}{P(|X|>2^m)}[/math]

[math]2^{m+4}{P(|X|>2^{m+3})} < 2^{m+1}{P(|X|>2^m)}[/math]

Ну в общем так все слагаемые. И сумма будет бесконечной. Надо как то построже оценить

Автор:  grigoriew-grisha [ 17 дек 2013, 16:13 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что мат ожидание конечно

Если трудно вам, то это не значит, что трудно всем. Ловчее нужно действовать. :hh:)

Автор:  R_e_n [ 17 дек 2013, 16:16 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что мат ожидание конечно

grigoriew-grisha писал(а):
Если трудно вам, то это не значит, что трудно всем. Ловчее нужно действовать. :hh:)


Поэтому я тут :%) Причем не только тут, я уже успел задолбать людей вот тут http://dxdy.ru/post802593.html#p802593 :oops:

Автор:  grigoriew-grisha [ 17 дек 2013, 16:35 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что мат ожидание конечно

Ну, тамошние путаники - давно известны! :ROFL:
Ладно, выберем [math]q\in (0 ; \fracac{1}{2})[/math] так, что [math]P(\vert X \vert >2n)<qP(\vert X \vert >n)[/math] начиная с некоторого [math]n_0[/math] . Тогда [math]P(\vert X \vert >2^n)=P(\vert X \vert >2\cdot2^{n-1})<qP(\vert X \vert >2^{n-1})< \ldots < q^{m_n}P(\vert X \vert >2^{n-m_n})\le q^{m_n}[/math] , если [math]m_n[/math] выбирается так, что [math]2^{n-m_n}> n_0 \ge 2^{n-m_n-1}.[/math]
Тогда [math]m_n[/math] растет примерно как [math]n[/math], и ряд [math]\sum\limits _{n=1}^{\infty}(2q)^n[/math] сходится. Вот и все. :Yahoo!:

Автор:  R_e_n [ 17 дек 2013, 16:56 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доказать, что мат ожидание конечно

Мда, снимаю шляпу, Вам удалось :Bravo:

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/