Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Прохождение светом преломляющей поверхности
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=28269
Страница 1 из 1

Автор:  illuminates [ 28 ноя 2013, 08:45 ]
Заголовок сообщения:  Прохождение светом преломляющей поверхности

\beta Столкнулся со следующей интересной задачкой.
Источник света находится в вакууме (т е показатель преломления =1) над плоской поверхностью
прозрачного вещества с показателем преломления n > 1. Найти плотность вероятности случайной величины β - угла преломления луча в прозрачной среде, если все направления лучей от источника в воздухе
равновероятны.

Можно сказать, что при переходе из вакуума в среду новых событий наблюдаться не будет (если не учитывать отражение). Давайте обозначим за угол i, угол падения, тогда можно записать:[math]f(i)* \Delta i=f( \beta )* \Delta \beta[/math]
А вот как решать дальше? Или не с этого нужно начинать?

Автор:  Human [ 28 ноя 2013, 11:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Прохождение светом преломляющей поверхности

По закону преломления [math]\sin\alpha=n\sin\beta[/math], где [math]\alpha[/math] - угол падения, [math]\alpha\in\left[0,\frac{\pi}2\right][/math]. По условию величина [math]\alpha[/math] распределена равномерно на отрезке [math]\left[0,\frac{\pi}2\right][/math], поэтому имеет на нём плотность [math]\frac2{\pi}[/math]. Из закона преломления получаем [math]\beta=\arcsin\left(\frac1n\sin\alpha\right)=g(\alpha),\ \beta\in\left[0,\arcsin\frac1n\right][/math]. Тогда [math]g^{-1}(x)=\arcsin(n\sin x)[/math] и

[math]f_{\beta}(x)=f_{\alpha}(g^{-1}(x))\frac{dg^{-1}}{dx}=\frac{2n\cos x}{\pi\sqrt{1-n^2\sin^2x}},\ x\in\left[0,\arcsin\frac1n\right][/math]

Автор:  zer0 [ 28 ноя 2013, 14:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Прохождение светом преломляющей поверхности

Вроде как по условию (...над плоской...) задача 3-х мерная и поэтому вероятность для углов разная.

Автор:  illuminates [ 28 ноя 2013, 18:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Прохождение светом преломляющей поверхности

[quote="Human"]

Спасибо за ответ, но у меня большое недопонимание вашего решения.
1) Что означает эта обратная функция[math]g^{-1}(x)=\arcsin(n\sin x)[/math]? Что означает x в ней? нас разве не [math]f_{\beta}(\beta)[/math] просят найти?

2) Далее не могу понять откуда выражение [math]f_{\alpha}(g^{-1}(x))\frac{dg^{-1}}{dx}[/math]

Заранее, большое спасибо за разъяснение.

Автор:  Human [ 28 ноя 2013, 19:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Прохождение светом преломляющей поверхности

zer0 писал(а):
Вроде как по условию (...над плоской...) задача 3-х мерная и поэтому вероятность для углов разная.


То есть здесь будет [math]f_{\alpha}(x)=\sin x,\ 0\leqslant x\leqslant\frac{\pi}2[/math]? Это если рассматривать равномерное распределение по телесным углам.

illuminates писал(а):

Спасибо за ответ, но у меня большое недопонимание вашего решения.
1) Что означает эта обратная функция[math]g^{-1}(x)=\arcsin(n\sin x)[/math]? Что означает x в ней? нас разве не [math]f_{\beta}(\beta)[/math] просят найти?

2) Далее не могу понять откуда выражение [math]f_{\alpha}(g^{-1}(x))\frac{dg^{-1}}{dx}[/math]

Заранее, большое спасибо за разъяснение.


1. Просто обычная функция, заданная на [math]\mathbb{R}[/math]. Можете вместо икса везде писать бету, если хотите; от обозначения переменной суть не меняется.

2. Формула преобразования плотности случайных величин.

Перерешайте сами с учетом замечания zer0.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/