| Математический форум Math Help Planet http://mathhelpplanet.com/ |
|
| Прохождение светом преломляющей поверхности http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=28269 |
Страница 1 из 1 |
| Автор: | illuminates [ 28 ноя 2013, 08:45 ] |
| Заголовок сообщения: | Прохождение светом преломляющей поверхности |
\beta Столкнулся со следующей интересной задачкой. Источник света находится в вакууме (т е показатель преломления =1) над плоской поверхностью прозрачного вещества с показателем преломления n > 1. Найти плотность вероятности случайной величины β - угла преломления луча в прозрачной среде, если все направления лучей от источника в воздухе равновероятны. Можно сказать, что при переходе из вакуума в среду новых событий наблюдаться не будет (если не учитывать отражение). Давайте обозначим за угол i, угол падения, тогда можно записать:[math]f(i)* \Delta i=f( \beta )* \Delta \beta[/math] А вот как решать дальше? Или не с этого нужно начинать? |
|
| Автор: | Human [ 28 ноя 2013, 11:47 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Прохождение светом преломляющей поверхности |
По закону преломления [math]\sin\alpha=n\sin\beta[/math], где [math]\alpha[/math] - угол падения, [math]\alpha\in\left[0,\frac{\pi}2\right][/math]. По условию величина [math]\alpha[/math] распределена равномерно на отрезке [math]\left[0,\frac{\pi}2\right][/math], поэтому имеет на нём плотность [math]\frac2{\pi}[/math]. Из закона преломления получаем [math]\beta=\arcsin\left(\frac1n\sin\alpha\right)=g(\alpha),\ \beta\in\left[0,\arcsin\frac1n\right][/math]. Тогда [math]g^{-1}(x)=\arcsin(n\sin x)[/math] и [math]f_{\beta}(x)=f_{\alpha}(g^{-1}(x))\frac{dg^{-1}}{dx}=\frac{2n\cos x}{\pi\sqrt{1-n^2\sin^2x}},\ x\in\left[0,\arcsin\frac1n\right][/math] |
|
| Автор: | zer0 [ 28 ноя 2013, 14:58 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Прохождение светом преломляющей поверхности |
Вроде как по условию (...над плоской...) задача 3-х мерная и поэтому вероятность для углов разная. |
|
| Автор: | illuminates [ 28 ноя 2013, 18:58 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Прохождение светом преломляющей поверхности |
[quote="Human"] Спасибо за ответ, но у меня большое недопонимание вашего решения. 1) Что означает эта обратная функция[math]g^{-1}(x)=\arcsin(n\sin x)[/math]? Что означает x в ней? нас разве не [math]f_{\beta}(\beta)[/math] просят найти? 2) Далее не могу понять откуда выражение [math]f_{\alpha}(g^{-1}(x))\frac{dg^{-1}}{dx}[/math] Заранее, большое спасибо за разъяснение. |
|
| Автор: | Human [ 28 ноя 2013, 19:34 ] |
| Заголовок сообщения: | Re: Прохождение светом преломляющей поверхности |
zer0 писал(а): Вроде как по условию (...над плоской...) задача 3-х мерная и поэтому вероятность для углов разная. То есть здесь будет [math]f_{\alpha}(x)=\sin x,\ 0\leqslant x\leqslant\frac{\pi}2[/math]? Это если рассматривать равномерное распределение по телесным углам. illuminates писал(а): Спасибо за ответ, но у меня большое недопонимание вашего решения. 1) Что означает эта обратная функция[math]g^{-1}(x)=\arcsin(n\sin x)[/math]? Что означает x в ней? нас разве не [math]f_{\beta}(\beta)[/math] просят найти? 2) Далее не могу понять откуда выражение [math]f_{\alpha}(g^{-1}(x))\frac{dg^{-1}}{dx}[/math] Заранее, большое спасибо за разъяснение. 1. Просто обычная функция, заданная на [math]\mathbb{R}[/math]. Можете вместо икса везде писать бету, если хотите; от обозначения переменной суть не меняется. 2. Формула преобразования плотности случайных величин. Перерешайте сами с учетом замечания zer0. |
|
| Страница 1 из 1 | Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
| Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group http://www.phpbb.com/ |
|