Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Доверительный интервал и выборка
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=28218
Страница 1 из 1

Автор:  ALEXIN [ 26 ноя 2013, 21:48 ]
Заголовок сообщения:  Доверительный интервал и выборка

:oops: Добрый вечер!

Помогите решить для девушки. :Rose: Задачи взяты отсюда viewtopic.php?f=47&t=28055&p=152015#p152015

Задача 1. Опитування 1025 покупців, які полюбляють молоко виявив, що 57% віддають перевагу поліетиленовому упакуванню, а 43% - картонному.
а) Виявити 95% довірчий інтервал для тих, що віддають перевагу картонному упакуванню;
б) У скільки разів зміниться гранична похибка, якщо довірчий інтервал збільшиться до 99,73% .
в) Який обсяг вибірки необхідний для гарантії граничної похибки на рівні 2% з імовірністю 95%.

Задача 2. Планується провести опитування населення України з приводу їх уподобань до політичних лідерів
а) Який обсяг вибірки гарантує граничну похибку на рівні 2% з імовірністю 95%, з ймовірністю 99,73%?
б) Який обсяг вибірки гарантує граничну похибку рейтингу Тимошенко на рівні 3% з імовірністю 95%, якщо з досліджень, які проводились раніше, відомо, що їй віддавали перевагу 12% респондентів.
в) У скільки разів збільшиться обсяг вибірки, якщо довірча ймовірність збільшиться до 99,73%.

После перевода c украинского на русский язык:

Задача 1. Опросы 1025 покупателей, которые любят молоко обнаружили, что 57 % предпочитают полиэтиленовом упаковке, а 43 % - картонную.
а) выявить 95 % доверительный интервал для тех, предпочитающих картонную упаковку?
б) Во сколько раз изменится предельная погрешность, если доверительный интервал увеличится до 99,73 %?
в) Какой объем выборки необходим для гарантии предельной погрешности на уровне 2 % с вероятностью 95 %?

Задача 2. Планируется провести опрос населения Украины по поводу их предпочтений к политическим лидерам.
а) Какой объем выборки гарантирует предельную погрешность на уровне 2 % с вероятностью 95 %, с вероятностью 99,73 %?
б) Какой объем выборки гарантирует предельную погрешность рейтинга Тимошенко на уровне 3 % с вероятностью 95 %, если по исследованиям, которые проводились ранее, известно, что ей предпочитали 12% респондентов?
в) Во сколько раз увеличится объем выборки, если доверительная вероятность увеличится до 99,73 %?

Автор:  grigoriew-grisha [ 26 ноя 2013, 22:23 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доверительный интервал и выборка

Я, конечно, решу "для девушки", но сначала ALEXIN должен 7640 раз нажать мне кнопку "спасибо", написать мне хвалебные отзывы в моих 143 темах и 2100 раз публично покаяться на форуме русского языка фразой "я совсем не владею Могучим Русским Языком". :ROFL:

Автор:  Talanov [ 27 ноя 2013, 03:59 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доверительный интервал и выборка

Открываем тему: "Доверительный интервал для доли" и находим в ней решение похожих задач.

Автор:  ALEXIN [ 27 ноя 2013, 12:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доверительный интервал и выборка

:( Такие «советы»,смотрите выше, мне на *… не нужны! Оставьте их себе! Надо только дельную помощь!!! :wink:

ПОЯСНЕНИЕ:
Построение доверительного интервала для математического ожидания генеральной совокупности http://baguzin.ru/wp/?p=5708
Интервальное оценивание генеральной доли http://math.semestr.ru/group/interval-e ... -share.php

Интервальная оценка, доверительный уровень которой равен 95%, интерпретируется следующим образом: если из генеральной совокупности извлечь все выборки, имеющие объем n, и вычислить их выборочные средние, то 95% доверительных интервалов, построенных на их основе, будут содержать математическое ожидание генеральной совокупности, а 5% — нет. На практике, как правило, из генеральной совокупности извлекается только одна выборка, а математическое ожидание генеральной совокупности μ не известно. По этой причине невозможно гарантировать, что некий конкретный доверительный интервал содержит величину μ. Можно лишь утверждать, что вероятность этого события равна 95%.
В некоторых ситуациях желательно иметь более высокий доверительный уровень, а следовательно, точность оценки величины μ (например, 99%). Но иногда можно ограничиться и менее точной оценкой (например, 90%).
Для определения вероятностей интересующих нас событий мы применяем выборочный метод: проводим n независимых экспериментов, в каждом из которых может произойти (или не произойти) событие А (вероятность р появления события А в каждом эксперименте постоянна). Тогда относительная частота p* появлений событий А в серии из n испытаний принимается в качестве точечной оценки для вероятности p появления события А в отдельном испытании. При этом величину p* называют выборочной долей появлений события А, а р — генеральной долей.
Таблица значений функции Лапласа http://natalymath.ru/laplas.html

РЕШЕНИЕ:

а) Выявить 95 % доверительный интервал для тех, кто предпочитает картонную упаковку?
Выборочная доля составляет р*= 0.43 = 440.75/1025. При n>30 доверительный интервал для генеральной доли можно построить, используя uкр, который находится по таблицу функции Лапласа с учетом заданной доверительной вероятности, например: 2* Ф(uкр) = 0.95, здесь σ = 2
Ф(uкр) = 0.95/2 = 0.475 или uкр = 1.96
ε = 1.96 * √[(0.47*(1-0.47)/1025] = 1.96 * 0.0155 = 0.03038 примерно 0.03
(p – ε, p + ε) = (0.47 – 0.03; 0.47 + 0.03) = (0.44; 0.50).

б) Во сколько раз изменится предельная погрешность, если доверительный интервал увеличится до 99,73 %?
Значение uкр находят по таблице значений функции Лапласа Ф(uкр) = 0.9873/2 = 0.4937 или uкр = 2.50, где σ = 2
ε = 2.50 * √[(0.47*(1-0.47)/1025] = 2.50 * 0.0155 = 0.03875 примерно 0.04

Предельная погрешность по соотношению: 0.03875/0.03038 = 1.2755 раза или на 27.55%
(p – ε,p + ε ) = (0.47 – 0.04; 0.47 + 0.04) = (0.43; 0.51).

в) Какой объем выборки необходим для гарантии предельной погрешности на уровне 2 % с вероятностью 95 %?
По формуле: 1 – (1 – 0.02)^n = 0.95 или 0.98^n =0.05
0.98^148 = 0.05028 смотрите: http://allcalc.ru/node/549/ . Получается примерно 148.

Автор:  Talanov [ 27 ноя 2013, 14:48 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доверительный интервал и выборка

ALEXIN писал(а):
а) Выявить 95 % доверительный интервал для тех, кто предпочитает картонную упаковку?
Выборочная доля составляет р*= 0.43 = 440.75/1025. При n>30 доверительный интервал для генеральной доли можно построить, используя uкр, который находится по таблицу функции Лапласа с учетом заданной доверительной вероятности, например: 2* Ф(uкр) = 0.95, здесь σ = 2
Ф(uкр) = 0.95/2 = 0.475 или uкр = 1.96
ε = 1.96 * √[(0.47*(1-0.47)/1025] = 1.96 * 0.0155 = 0.03038 примерно 0.03
(p – ε, p + ε) = (0.47 – 0.03; 0.47 + 0.03) = (0.44; 0.50).

Правильный ответ [0.40;0.46]
ALEXIN писал(а):
б) Во сколько раз изменится предельная погрешность, если доверительный интервал увеличится до 99,73 %?
Значение uкр находят по таблице значений функции Лапласа Ф(uкр) = 0.9873/2 = 0.4937 или uкр = 2.50, где σ = 2
ε = 2.50 * √[(0.47*(1-0.47)/1025] = 2.50 * 0.0155 = 0.03875 примерно 0.04

Предельная погрешность по соотношению: 0.03875/0.03038 = 1.2755 раза или на 27.55%
(p – ε,p + ε ) = (0.47 – 0.04; 0.47 + 0.04) = (0.43; 0.51).

Не доверительный интервал, а доверительная вероятность.
Если правильно найти квантили, то предельная погрешность увеличится в 3/1,96=1,53 раза.

ALEXIN писал(а):
в) Какой объем выборки необходим для гарантии предельной погрешности на уровне 2 % с вероятностью 95 %?
По формуле: 1 – (1 – 0.02)^n = 0.95 или 0.98^n =0.05
0.98^148 = 0.05028. Получается примерно 148.

Представленная формула к этой задаче не имеет ни малейшего отношения.
Просто нужно решить обратную задачу по тем же формулам. n=2 354.

Автор:  ALEXIN [ 27 ноя 2013, 17:11 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доверительный интервал и выборка

:Rose: Спасибо Talanov!
Надо было Вам сразу вносить исправления, помечая красным цветом. Тороплюсь, много описок. Вы, пожалуйста, пишите конкретные формулы. Мне некогда играть в жмурки, если привожу потом верные решения, то все шишки падают на меня :wink: , а тем кому положено решать и учиться — останется только списывать у меня. Битый — небитых везёт!

ИСПРАВЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 1:
а) Выявить 95 % доверительный интервал для тех, кто предпочитает картонную упаковку?
Выборочная доля составляет р*= 0.43 = 440.75/1025. При n>30 доверительный интервал для генеральной доли можно построить, используя uкр, который находится по таблицу функции Лапласа с учетом заданной доверительной вероятности, например: 2* Ф(uкр) = 0.95.
Ф(uкр) = 0.95/2 = 0.475 или uкр = 1.96
ε = 1.96 * √[(0.43*(1-0.43)/1025] = 1.96 * 0.0155 = 0.03038 примерно 0.03
(p – ε, p + ε) = (0.43 – 0.03; 0.43 + 0.03) = (0.40; 0.46).

б) Во сколько раз изменится предельная погрешность, если доверительная вероятность увеличится до 99,73 %?
Значение uкр находят по таблице значений функции Лапласа Ф(uкр) = 0.9973/2 = 0.49865 или uкр = 3.0
ε = 3.0 * √[(0.43*(1-0.43)/1025] = 3.0 * 0.0155 = 0.0465 примерно 0.047.

Предельная погрешность увеличится по соотношению: (3.0 * 0.0155)/(1.96 * 0.0155) = 3.0/1.96 = 1.5306 раза или на 53.06%.
При интервале:
(p – ε ,p + ε ) = (0.43 – 0.047; 0.43 + 0.047) = (0.383; 0.477).

в) Какой объем выборки необходим для гарантии предельной погрешности на уровне 2 % с вероятностью 95 %?
0.02 = 1.96 * √[(0.43*(1-0.43)/n] => n = (1.96 * √[(0.43*(1-0.43)]/0.02)^2 = (98 * √0.2451)^2 = 9604*0.2451 = 2353.94 примерно — 2354

Задача 2. Планируется провести опрос населения Украины по поводу их предпочтений к политическим лидерам.
РЕШЕНИЕ:
а) Какой объем выборки гарантирует предельную погрешность на уровне 2 % с вероятностью 95 %, с вероятностью 99,73 %?
По формуле: 1 – (1 – 0.02)^n = 0.95 или 0.98^n =0.05
0.98^148 = 0.05028 смотрите: http://allcalc.ru/node/549/ . Получается примерно — 148.
По формуле: 1 – (1 – 0.02)^n = 0.9973 или 0.98^n =0.0027
0.98^293 = 0.0026868 смотрите: http://allcalc.ru/node/549/ . Получается примерно — 293.

б) Какой объем выборки гарантирует предельную погрешность рейтинга Тимошенко на уровне 3 % с вероятностью 95 %, если по исследованиям, которые проводились ранее, известно, что её предпочитали 12% респондентов?
n = (1.96 * √[(0.12*(1-0.12)]/0.03)^2 = (65.333 * √0.1056)^2 = 4268.4 * 0.1056 = 450.74 примерно 451.

в) Во сколько раз увеличится объем выборки, если доверительная вероятность увеличится до 99,73 %?
n = (3.0 * √[(0.12*(1-0.12)]/0.03)^2 = (100 * √0.1056)^2 = 10000 * 0.1056 = 1056.

Автор:  ALEXIN [ 27 ноя 2013, 19:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доверительный интервал и выборка

ИСПРАВЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 2:
Задача 2. Планируется провести опрос населения Украины по поводу их предпочтений к политическим лидерам.
а) Какой объем выборки гарантирует предельную погрешность на уровне 2 % с вероятностью 95 %, с вероятностью 99,73 %?
- с вероятностью 95 %: n(max) = t²/4ε² = (1.96)^2/4*(0.02)^2 = 3.8416/0.0016 = 2401
- с вероятностью 99,73 %: n(max) = t²/4ε² = (3)^2/4*(0.02)^2 = 9/0.0016 = 5625

б) Какой объем выборки гарантирует предельную погрешность рейтинга Тимошенко на уровне 3 % с вероятностью 95 %, если по исследованиям, которые проводились ранее, известно, что её предпочитали 12% респондентов?
n = t²/ε² * m/n * (1 – m/n) = (1.96)^2/(0.02)^2 * 0.12 * 0.88 = 3.8416/0.0004 *0.1056 = 1014.18 примерно — 1014.

в) Во сколько раз увеличится объем выборки, если доверительная вероятность увеличится до 99,73 %?
n = t²/ε² * m/n * (1 – m/n) = (3.0)^2/(0.02)^2 * 0.12 * 0.88 = 9.0/0.0004 *0.1056 = 2376.
Возрастёт: 3^2/1.96^2 = 9.0/3.8416 = 2376/1014 = 2.3432 раза

СПРАВОЧНО:
P(|X – m| ≤ σ) = Ф(t), t = Δ/σ, σ = t Δ; m - tΔ ≤ X ≤ m + tΔ
n(max) = t²/4ε²; n = t²/ε² * m/n * (1 – m/n)

Автор:  nastenkavip [ 27 ноя 2013, 23:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доверительный интервал и выборка

Огромное спасибо!)))))))))))))))

Автор:  ALEXIN [ 28 ноя 2013, 04:19 ]
Заголовок сообщения:  Re: Доверительный интервал и выборка

nastenkavip!

:oops: Прошу прощения! Опять описки, просто спотыкаюсь на ровном месте.

ИСПРАВЛЕНИЯ И УТОЧНЕНИЯ ПО ЗАДАЧЕ № 2:
б) Какой объем выборки гарантирует предельную погрешность рейтинга Тимошенко на уровне 3 % с вероятностью 95 %, если по исследованиям, которые проводились ранее, известно, что её предпочитали 12% респондентов?

Написано:
n = t²/ε² * m/n * (1 – m/n) = (1.96)^2/(0.02)^2 * 0.12 * 0.88 = 3.8416/0.0004 *0.1056 = 1014.18 примерно — 1014.

Правильно будет:
n = t²/ε² * m/n * (1 – m/n) = (1.96)^2/(0.03)^2 * 0.12 * 0.88 = 3.8416/0.0009 *0.1056 = 450.75 примерно — 451.


в) Во сколько раз увеличится объем выборки, если доверительная вероятность увеличится до 99,73 %?

Написано:
n = t²/ε² * m/n * (1 – m/n) = (3.0)^2/(0.02)^2 * 0.12 * 0.88 = 9.0/0.0004 *0.1056 = 2376.
Возрастёт: 3^2/1.96^2 = 9.0/3.8416 = 2376/1014 = 2.3432 раза.

Правильно будет:
n = t²/ε² * m/n * (1 – m/n) = (3.0)^2/(0.03)^2 * 0.12 * 0.88 = 9.0/0.0009 *0.1056 = 1056.
Возрастёт: 3^2/1.96^2 = 9.0/3.8416 = 1056/451 = 2.3432 раза.

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/