Математический форум Math Help Planet
Обсуждение и решение задач по математике, физике, химии, экономике Теоретический раздел |
| Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
новый онлайн-сервис число, сумма и дата прописью |
|
|
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
|
Страница 1 из 2 |
[ Сообщений: 20 ] | На страницу 1, 2 След. |
|
| Автор | Сообщение | ||
|---|---|---|---|
| maked0n |
|
||
|
1. Кубик подкинули n раз. Определите вероятность того, что в процессе подбрасывания кол-во выпаданий единицы всегда будет не меньше, чем кол-во выпаданий двойки. 2. Кубик подкинули n раз. Определите вероятность того, что в процессе подбрасывания кол-во выпаданий единицы всегда будет не меньше, чем кол-во выпаданий двойки и не меньше, чем кол-во выпаданий тройки. 3. Кубик подбрасывают до тех пор, пока кол-во выпаданий единицы не станет меньше, чем кол-во выпаданий двойки, и не меньше, чем кол-во выпаданий тройки. Определите математическое ожидание количества подбрасываний. Бьюсь которую неделю над этой задачей, но никак не могу понять как она решается. Не поможет ли в решении уважаемая математическая публика?) |
|||
| Вернуться к началу | |||
| ALEXIN |
|
||
Вчера удалили моё решение. Посмотрим, кто кого? На удаление сообщений — ума не надо.Сделаем так. Хочу убедиться, что на этом форуме есть математики, а не мыльные пузырики — действующие по шаблону. Хватит уже «сколковничать». Насмотрелся. Если завтра, до полудня по Москве, не увижу ваших решений — то посмеюсь от души. Какой толк от «математиков без фантазии»? Какое будущее ждёт страну? Будете учить — «только чопорному надуванию щёк»! ![]() |
|||
| Вернуться к началу | |||
| За это сообщение пользователю ALEXIN "Спасибо" сказали: Doctor |
|||
| Prokop |
|
||
|
maked0n, возможно, решению помогут главы 3, 11 и 13 из книги Феллера, Введение в теорию вероятностей и её приложения.
Рассмотрим, например, первую задачу. В ней можно “не учитывать” (пояснения ниже) выпадения тройки, т.е. можно использовать простой вариант теории случайных блужданий и использовать теорему о баллотировке. С формальной точки зрения здесь имеем дело с упорядоченными конечными множествами плюс единиц и минус единиц (плюс единица – выпадение на кубике единицы, минус единица – выпадение двойки). Рассмотрим [math]n=p+q[/math] символов [math]\varepsilon _1 ,\varepsilon _2 , \ldots ,\varepsilon _n[/math], каждый из которых означает [math]+1[/math] или [math]-1[/math], предполагая число плюс единиц равным [math]p[/math], а число минус единиц равным [math]q[/math]. Частная сумма [math]s_k = \varepsilon _1 + \varepsilon _2 + \ldots + \varepsilon _k[/math] представляет собой разность между числом плюсов и минусов, находящихся на первых [math]k[/math] местах. Тогда [math]s_n = p - q[/math] и считаем [math]s_0 =[/math]0. Далее используется геометрическая терминология. Последовательности [math]\left({\varepsilon _1 ,\varepsilon _2 , \ldots ,\varepsilon _n}\right)[/math] сопоставим ломаную линию на плоскости с началом в начале координат, [math]k[/math] – ое звено которой имеет наклон [math]\varepsilon _k[/math]. По горизонтальной оси откладываем “время” [math]k=0,1, \ldots[/math] , а по вертикальной значения [math]s_k[/math]. Число[math]n[/math]называют длиной пути. Существует [math]2^n[/math] путей длины [math]n[/math]. Если среди [math]\varepsilon _k[/math] имеется [math]p[/math] положительных и [math]q[/math] отрицательных, то [math]n = p + q[/math] , [math]x = p - q[/math]. (1) Путь из начала координат в произвольную точку [math]\left({n,x}\right)[/math] существует только тогда, когда натуральное [math]n[/math] и целое [math]x[/math]удовлетворяют системе (1). Число таких путей в этом случае равно [math]N\left({n,x}\right) = C_n^p = C_m^{\frac{{n + x}}{2}}[/math] Для удобства положим [math]N\left({n,x}\right) = 0[/math], если натуральное [math]n[/math] и целое [math]x[/math] не удовлетворяют системе (1). Путь будем называть положительным, если [math]s_k > 0[/math],[math]k = 1, \ldots n[/math] и неотрицательным если [math]s_k \geqslant 0[/math], [math]k = 1, \ldots n[/math]. Теорема о баллотировке. Пусть [math]n[/math] и [math]x[/math] целые положительные числа. Тогда существует ровно [math]\frac{x}{n}N\left({n,x}\right)[/math] положительных путей из начала координат в точку с координатами [math]\left({n,x}\right)[/math]. Отсюда легко следует, что число неотрицательных путей длины [math]m[/math], заканчивающихся в точке [math]k[/math] находится по формуле [math]M\left({m,k}\right) = \frac{{k + 1}}{{m + 1}}N\left({m + 1,k + 1}\right)[/math] Теперь введём гипотезы [math]H_r[/math] – число 3выпало [math]r[/math] раз в серии из [math]n[/math] бросаний кубика. Тогда по формуле полной вероятности находим вероятность события [math]A[/math] – число выпадений единицы всегда не меньше числа выпадений двойки. [math]P\left( A \right) = \sum\limits_{r = 0}^n{P\left({H_r}\right) \cdot P\left({A|H_r}\right)}= \sum\limits_{r = 0}^n{C_n^r \left({\frac{1}{3}}\right)^r \left({\frac{2}{3}}\right)^{n - r}\sum\limits_{k = 0}^{n - r}{\frac{{k + 1}}{{n - r + 1}}\frac{{N\left({n - r + 1,k + 1}\right)}}{{2^{n - r}}}}}[/math] P.S. Кажись успел. ![]() |
|||
| Вернуться к началу | |||
| За это сообщение пользователю Prokop "Спасибо" сказали: ALEXIN, Analitik, Human, mad_math, maked0n, Sviatoslav |
|||
| ALEXIN |
|
||
Prokop!Уложились по времени. Спасибо огромное. С 11-45 уже терпеливо ожидал ответ за компьютером. Поднял другую литературу по теме. Показалось, задача для старшеклассников. Всю ночь не спал, пытался найти разные варианты решений. Поднял на ноги всю Россию-матушку, связался с крупнейшими сайтами «по решению задач из контрольных работ». В частности, Матбюро спасовало, хотя по началу обещало. На добрые дела денег не жалко — истина важнее. Всё Ваше решение скопировал, теперь буду перепроверять. Первое впечатление — очень запутанное пояснение, отсутствует лёгкость и изящество. Вполне возможно, задача «пришла к нам» из англоязычных источников. В любом случае, спасибо Вам, как человеку, имеющему понятие о чести. ![]() |
|||
| Вернуться к началу | |||
| За это сообщение пользователю ALEXIN "Спасибо" сказали: Doctor |
|||
| maked0n |
|
||
|
Prokop, спасибо большое, буду разбираться!
ALEXIN, не могли бы Вы еще раз выложить Ваше удаленное решение? Все-таки хотелось бы увидеть альтернативные решения. |
|||
| Вернуться к началу | |||
| ALEXIN |
|
|
|
Вложение: Prokop и maked0n! Прошу прощения, ранее не мог ответить, был заблокирован, происки недругов, смотрите (12 сен 2013, 16:13): viewtopic.php?f=60&t=9372&p=140038#p140038 Скачайте вложение, там решение в Латэкс, ниже в обычной записи. Далее будет так, надо сделать расчёты только для n = 4, сразу будет видна реальная картина и смысл (по пп: 5.1 и 5.2). Предвижу развитие событий, найдутся «хитроумные», которые будут писать ерунду: зачем надо было покупать? Кто им мешал привести своё решение? Поэтому указываю число просмотров — 276, на 19.09.13г. время: 19-00. В решении, от «StudHelp.Net», мне многое непонятно и вызывает сомнения, появились вопросы к Автору решения. Слишком мало пояснений. Если будут вопросы, то задавайте. Возможно, совместно осилим. На худой конец, отправим «такое решение» опять на доработку в «StudHelp.Net». Покупка решения задачи обошлась в 650 рублей, с учётом комиссии за перевод денег. (Яндекс. Деньги.) КУПЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ, у команды StudHelp.Net http://studhelp.net/ 5.1.Кубик подкинули n раз. Найти вероятность того, что в процессе подбрасывания количество выпадения единицы всегда будет не меньше, чем количество выпадения двойки. Решение: Пусть имеется выборка из n элементов. Решим обратную задачу, т.е. найдем вероятность того, что в очередной раз количество выпадения двойки станет больше. Для первых трех чисел найдем вероятности простым перебором. При этом получим: Р(1) = 1 – (1/3) = 2/3 P(2) = 1 – (4/9) = 5/9 Р(3) = 1 – (14/27) = 13/27 Далее решаем задачу для n чисел. Для удобства будем рассматривать выборку, прибавляя разряд не с конца, а с начала последовательности (Множество вариантов при этом не изменяется, поэтому не принципиально, с какой стороны добавлять). При этом получим: 1) Если в первом опыте оказалась тройка, то множество решений задачи аналогично случаю для (n-1). 2) Если в первом опыте оказалась двойка, то исключается все множество решений для (n-1). 3) Если в первом опыте оказалась единица, то рассматриваем следующий разряд, при чем для двойки и тройки ситуация аналогична п. 1) и 2), а для единицы производится переход на следующий разряд, и т.д. При этом в общем виде получим формулу: P0(n) = [3^(n – 1) + P(n – 2) * 3^(n – 1) + … + P(1) * 3^1]/3^n Раскрывая формулу, получим: P0(n) = [3^(n – 1) + 3^(n – 2) + 2 * 3^(n – 2) + … + (n – 1) * 3^0]/3^n = = [3^(n – 1) + 3^(n – 2) + 2 * 3^(n – 2) + … + (n – 1)]/3^n Тогда искомая формула: P(n) = 1 - [3^(n – 1) + 3^(n – 2) + 2 * 3^(n – 2) + … + (n – 1)]/3^n, где n > 3 5.2. Кубик подкинули n раз. Найти вероятность того, что в процессе подбрасывания количество выпадения единицы всегда будет не меньше ,чем количество выпадения двойки, и не меньше, чем количество выпадения тройки. Решение: Из предыдущей задачи известна формула для выпадения двойки не чаще чем единицы. Учитывая, что расчет для тройки аналогичен (т.к. вероятности выпадения для каждого числа одинаковы) и при этом события можно считать изолированными (поскольку множество событий, удовлетворяющих условиям задачи 5.2, является совокупностью множеств решения задачи 5.1 и задачи 5.1 решенной для тройки), искомая формула вид будет иметь: P(n) = (1 – [3^(n – 1) + 3^(n – 2) + 2 * 3^(n – 2) + … + (n – 1)]/3^n)^2, где n > 3 Р(1) = 1 – (2/3) = 1/3 P(2) = 1 – (2/3) = 1/3 Р(3) = 1 – (20/27) = 7/27 5.3. Кубик подкидывают, пока количество выпадения единицы станет не меньше, чем количество выпадения двойки, и не меньше, чем количество выпадения тройки. Определите математическое ожидание подбрасываний. *В данном случае не ясно – входит ли 0 в область определения функции (т.е. момент, когда кубик подброшен 0 раз). Если входит, то мат. ожидание равно 0. Рассматриваем случай, когда 0 не входит в область определения. При этом: При однократном подбрасывании вероятность реализации события равна 1/3 (сразу выпадает 1). При двукратном 1/3 (после исключения выборок с реализацией в первом опыте остается 6 выборок из них выборки 21 и 31 удовлетворяют условию.) При трехкратном 2/12 (после исключения возможной реализации в первом и втором опытах остается 12 выборок, при этом условие реализуется в выборках 321 и 231) При четырехкратном подбрасывании условие не реализуется (если выборка не исключается при реализации первых трех бросков условие на четвертом броске нереализуемо.) На первые три опыта приходится 5/6 плотности распределения вероятности, поэтому мат. ожидание лежит в этой области. При этом вероятность выпадения числа в диапазоне от 3 до «+бесконечность» составляет 1/3. С учетом этого можно сказать, что мат. ожидание лежит в диапазоне от 1 до 2. Если бы рассматривалась непрерывная функция, число, с учетом возможных значений в области от 3 до «+бесконечность» лежало бы между значениями 1,5 и 2. Однако число опытов – дискретная величина, поэтому мат. ожидание будет равно 2. Ответ: M = 0, если 0 входит в область определения функции, иначе M = 2. |
||
| Вернуться к началу | ||
| За это сообщение пользователю ALEXIN "Спасибо" сказали: Doctor, nastenkavip |
||
| Talanov |
|
|
|
ALEXIN писал(а): 5.1.Кубик подкинули n раз. Найти вероятность того, что в процессе подбрасывания количество выпадения единицы всегда будет не меньше, чем количество выпадения двойки. Решение: Пусть имеется выборка из n элементов. Решим обратную задачу, т.е. найдем вероятность того, что в очередной раз количество выпадения двойки станет больше. Для первых трех чисел найдем вероятности простым перебором. При этом получим: Р(1) = 1 – (1/3) = 2/3 P(2) = 1 – (4/9) = 5/9 Р(3) = 1 – (14/27) = 13/27 Р(1), Р(2) и Р(3) - это что за вероятности? |
||
| Вернуться к началу | ||
| Talanov |
|
|
|
Talanov писал(а): ALEXIN писал(а): 5.1.Кубик подкинули n раз. Найти вероятность того, что в процессе подбрасывания количество выпадения единицы всегда будет не меньше, чем количество выпадения двойки. Решение: Пусть имеется выборка из n элементов. Решим обратную задачу, т.е. найдем вероятность того, что в очередной раз количество выпадения двойки станет больше. Для первых трех чисел найдем вероятности простым перебором. При этом получим: Р(1) = 1 – (1/3) = 2/3 P(2) = 1 – (4/9) = 5/9 Р(3) = 1 – (14/27) = 13/27 Р(1), Р(2) и Р(3) - это что за вероятности? Вопрос не по адресу, поэтому снимается. |
||
| Вернуться к началу | ||
| maked0n |
|
|
|
maked0n"Talanov"]
ALEXIN писал(а): 5.1.Кубик подкинули n раз. Найти вероятность того, что в процессе подбрасывания количество выпадения единицы всегда будет не меньше, чем количество выпадения двойки. Решение: Пусть имеется выборка из n элементов. Решим обратную задачу, т.е. найдем вероятность того, что в очередной раз количество выпадения двойки станет больше. Для первых трех чисел найдем вероятности простым перебором. При этом получим: Р(1) = 1 – (1/3) = 2/3 P(2) = 1 – (4/9) = 5/9 Р(3) = 1 – (14/27) = 13/27 Р(1), Р(2) и Р(3) - это что за вероятности?[/quote] "вероятность того, что в очередной раз количество выпадения двойки станет больше" |
||
| Вернуться к началу | ||
| Talanov |
|
|
|
maked0n писал(а): "вероятность того, что в очередной раз количество выпадения двойки станет больше" В смысле, не больше. Ну я понял. С этими вероятностями разобрались? Сами сможете вывести? |
||
| Вернуться к началу | ||
|
На страницу 1, 2 След. | [ Сообщений: 20 ] |
| Похожие темы | Автор | Ответы | Просмотры | Последнее сообщение |
|---|---|---|---|---|
| Задача с математического турнира | 3 |
292 |
11 июл 2020, 15:43 |
|
| Задача с Математического Праздника (2024. 7. 1.) | 8 |
300 |
06 апр 2024, 10:27 |
|
|
Перевод с математического на русский
в форуме Алгебра |
2 |
112 |
05 сен 2024, 23:05 |
|
|
Определение математического ожидания
в форуме Теория вероятностей |
5 |
319 |
01 мар 2018, 20:03 |
|
| Задачи математического программирования | 19 |
1032 |
23 ноя 2018, 10:54 |
|
|
Решение заданий математического анализа
в форуме Пределы числовых последовательностей и функций, Исследования функций |
1 |
273 |
14 ноя 2015, 18:47 |
|
| Поиск метода математического анализа | 1 |
291 |
15 июн 2015, 17:26 |
|
| Интервальная оценка для математического ожидания | 0 |
269 |
07 мар 2018, 09:07 |
|
|
Свойства математического ожидания и дисперсии
в форуме Теория вероятностей |
4 |
158 |
08 ноя 2024, 23:08 |
|
| Найти доверительный интервал для оценки математического ожи | 1 |
408 |
21 май 2015, 19:59 |
Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ] |
Кто сейчас на конференции |
Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 10 |
| Вы не можете начинать темы Вы не можете отвечать на сообщения Вы не можете редактировать свои сообщения Вы не можете удалять свои сообщения Вы не можете добавлять вложения |