Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти вероятность того
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=21094
Страница 1 из 1

Автор:  NENS [ 31 дек 2012, 17:29 ]
Заголовок сообщения:  Найти вероятность того

Наугад выбрано два положительных числа Х и У, каждое с которых не превышает 10. Найти вероятность того, что произведение их будет больше 4, а разница у-х не меньше 2.
Метки: Редактировать

Автор:  Andy [ 01 янв 2013, 08:47 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти вероятность того

NENS
Задачу можно решить с использованием понятия геометрической вероятности. Для этого изобразим на координатной плоскости квадрат со стороной, длина которой равна десяти единицам. Левый нижний угол квадрата расположим в начале координат, а стороны вдоль координатных осей. Вдоль оси абсцисс будут отложены значения числа [math]X,[/math] а вдоль оси ординат - значения числа [math]Y.[/math] Неравенству [math]Y-X \ge 2[/math] соответствует часть квадрата (треугольник), расположенная выше прямой [math]y=x+2[/math] и включающая эту прямую. Неравенству [math]XY>4[/math] соответствует часть квадрата, расположенная выше гиперболы [math]y=\frac{4}{x}.[/math] Обоим указанным неравенствам соответствует пересечение этих областей.

Искомая вероятность может быть определена как отношение площади [math]s[/math] области, удовлетворяющей обоим неравенствам, к площади [math]S[/math] квадрата.

Найдём площадь квадрата: [math]S=10\cdot10=100.[/math]

Чтобы найти площадь области, вычислим координаты точки пересечения прямой [math]y=x+2[/math] и гиперболы [math]y=\frac{4}{x}[/math]: [math]x+2=\frac{4}{x},~x^2+2x-4=0,~D=2^2-4\cdot1\cdot(-4)=20,~\sqrt{D}=2\sqrt{5},~x=\pm\frac{-2-2\sqrt{5}}{2}=-1\pm\sqrt{5}.[/math] Внутри квадрата расположена точка с абсциссой [math]x=-1+\sqrt{5}.[/math] Ордината этой точки равна [math]y=x+2=-1+\sqrt{5}+2=1+\sqrt{5}.[/math] Поэтому
[math]s=\int\limits_{1+\sqrt{5}}^{10}dy\int\limits_{\frac{4}{y}}^{y-2}dx=\int\limits_{1+\sqrt{5}}^{10}\bigg(y-2-\frac{4}{y}\bigg)dy=\left.{\bigg(\frac{1}{2}y^2-2y-4\ln y \bigg)}\right|_{1+\sqrt{5}}^{10}=[/math]

[math]=\frac{100}{2}-20-4\ln 10-\frac{6+2\sqrt{5}}{2}+2+2\sqrt{5}+4\ln (1+\sqrt{5})=29+\sqrt{5}+4\ln\frac{1+\sqrt{5}}{10} \approx 26,7.[/math]


Найдём искомую вероятность: [math]p=\frac{s}{S}=\frac{26,7}{100}=0,267.[/math]

Надеюсь, рисунок к решению задачи Вы сможете сделать самостоятельно. И не поленитесь проверить вычисления. :)

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/