Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

В чулане находится n пар ботинок
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=18836
Страница 1 из 1

Автор:  bella [ 23 окт 2012, 09:16 ]
Заголовок сообщения:  В чулане находится n пар ботинок

В чулане находится n пар ботинок. Из них случайно выбирается 2r ботинок( 2r<n). Какова вероятность того,что а) среди выбранных ботинок отсутствуют парные, б) имеется одна комплектная пара, с) имеется две комплектные пары.

Автор:  zer0 [ 23 окт 2012, 13:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: В чулане находится n пар ботинок

20 задач выложено :shock: А может, стоит теорию подучить? :)

Автор:  Free Dreamer [ 24 окт 2012, 01:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: В чулане находится n пар ботинок

А Вы пробовали задачу решить самостоятельно?

Давайте решать вместе.
Выбрано 2r ботинок. Условие 2r < n важное, поскольку гарантирует, что мы действительно можем выбрать такое количество ботинок (всего у нас n пар ботинок, то есть самих ботинок 2*n, а тогда 2r < n < 2n - вполне допустимое для выбора количество ботинок).

а) среди выбранных ботинок отсутствуют парные
Наше исходное множество ботинок имеет вид:
Л1 - Р1
Л2 - Р2
- - - - - -
Лn - Pn
где Лi и Pi - это соответственно левый и правый ботинок i-ой пары. Я предполагаю, что все пары различные, то есть левый ботинок пятой пары и правый ботинок двадцатой пары не образуют. Если бы все левые и все правые ботинки были одинаковы, это было бы оговорено в условии.
Последнее утверждение означает, что если есть 2r НЕПАРНЫХ ботинок, то они взяты из 2r различных пар. И вот опять важно, что 2r < n, то есть нужное количество пар действительно можно выбрать. Выбрать 2r пар из n можно [math]\begin{pmatrix} n \\ 2r \end{pmatrix}[/math] способами (число сочетаний из n по 2r). Когда мы определились с выбором пар, нужно ещё из этих пар выбрать по одному ботинку - из каждой пары мы можем взять либо левый, либо правый, то есть для данной пары есть 2 способа выбрать ботинок, тогда для фиксированного набора из 2r пар есть [math]2 ^ {2r}[/math] выбора ботинка. Итого: умножаем число способов выбрать 2r пар из n пар на число способов выбрать из каждой пары по одному ботинку при фиксированных 2r парах. Это число (это произведение) осталось разделить на общее число способов выбрать 2r ботинок из 2n ботинок. И, по классическому определению вероятности, получаем:
[math]P = \frac{2^{2r} \cdot \begin{pmatrix} n \\ 2r \end{pmatrix}}{ \begin{pmatrix} 2n \\ 2r \end{pmatrix} }[/math]

б) имеется одна комплектная пара
У нас есть n пар - и одну из них нам нужно выбрать целиком (оба ботинка из этой пары попадут в наш набор) - это может быть любая из n пар. Когда она выбрана, останется (n - 1) пара и останется выбрать ещё (2r - 2) ботинка (всего нужно 2r ботинок, а одна пара - два ботинка - уже выбрана). Эти (2r - 2) ботинка должны быть непарными, ведь, по условию, комплектная пара должна быть одна и ровно одна. С этими ботинками проделаем то же, что и в пункте а), тогда окончательно получим:
[math]P = \frac{ n \cdot 2^{2r-2} \cdot \begin{pmatrix} n - 1 \\ 2r-2 \end{pmatrix} }{ \begin{pmatrix} 2n \\ 2r \end{pmatrix} }[/math]

в) имеется две комплектные пары
Этот пункт мало отличается от предыдущего: только теперь нужно сначала выбрать 2 пары (это можно сделать [math]\begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix}[/math] способами, а с оставшимися (2r - 4)-мя непарными ботинками проделаем то же, что и в пункте а). Тогда получим:
[math]P = \frac{ \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} \cdot 2^{2r-4} \cdot \begin{pmatrix} n - 2 \\ 2r-4 \end{pmatrix} }{ \begin{pmatrix} 2n \\ 2r \end{pmatrix} }[/math]

Автор:  coal [ 23 дек 2013, 01:08 ]
Заголовок сообщения:  Re: В чулане находится n пар ботинок

что-то я не понял.Когда попробовал в формулу подставить n=10 и r=2,то вероятность одной пары ботинок получилась 24/17>1.Где я протупил?

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/