Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задача про двух шахматистов
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=16375
Страница 2 из 3

Автор:  --ms-- [ 24 апр 2012, 22:14 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про двух шахматистов

Оба, а какая между ними разница? Ни малейшей. Второе решение ненавязчиво намекает Вам условными вероятностями, равными единице, что ФПВ тут абсолютно ни при чём, поскольку искомое событие есть просто сумма первых трёх гипотез.

Автор:  Sunrise [ 24 апр 2012, 22:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про двух шахматистов

Ок, спасибо за советы и помощь в решении.

Автор:  Wladislav [ 26 июл 2015, 08:21 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про двух шахматистов

В.Г. Лесняк.
Задача о справедливом разделе ставки.
А.Г. Мякишев в книге «Знакомство с теорией вероятности» Москва 2008год, привел пример о справедливом разделе приза для игроков, где мнения рассуждающих за выводами не совпали.
Условие примера.
Два игрока играют в игру, в которой их шансы выиграть равновозможные.
При счете партий 5:3 в пользу одного из игроков игра прервалась.
Как же следует разделить приз, если принять следующие условия:
игра продолжается до шести побед;
засчитываются только результативные (проигрыш-выигрыш) исходы в партии?
Историки математики установили, что эта задача упоминается в книге “Сумма знаний по арифметике, геометрии, отношениям и пропорциональности” (1494г.), автор Пачоли (1445-1509гг.), некоторые из них иллюстрировал его друг Да-Винчи.
Считают, что в Италию задача попала из арабских стран. Словом, к 1654г., когда она была решена Паскалем и Ферма, ей насчитывалось почтенное количество лет и множество безуспешных попыток справиться с нею. Никто до Паскаля и Ферма не замечал, что задача имеет вероятностный характер. Так, гениальный итальянец Тарталья (1499-1557гг.), открывший за одну ночь формулу корней кубического уравнения, пришел к ответу 2:1. Может, он рассуждал следующим образом: первый игрок выиграл на две партии больше, а два – третья часть от шести, поэтому он и должен получить треть приза, а оставшуюся сумму нужно поделить пополам. Зафиксированный результат партий уже имеет соотношение 1,67:1.
Ферма и Паскаль шли разным путем, но результаты совпали; отсюда – ставшая крылатой фраза из письма Паскалю Ферма: «Как я вижу, истина одна и в Тулузе и в Париже».
Справедливым будет раздел, пропорциональный шансам игроков выиграть поединок в целом. Первому осталось выиграть одну партию, второму – три. Идея Ферма состояла в том, чтобы продолжить прерванный матч тремя виртуальными партиями, позволяющими, с некоторой вероятностью, и первому и второму игроку закончить турнир выигрышем. При этом имеем 8 равновероятностных исходов, из которых только три результативные для первого игрока и один для второго.
Предложенный вариант разделения приза в соотношении 7:1 не логичен по условиям задачи. Так как учитываются только результативные исходы из вероятностных, которые приведут к выигрышу турнира любым из игроков, то для первого игрока результативных вероятностных исходов выигрыша одной партии три, а для второго игрока всего один.
И все же, как следует разделить приз исходя из условия задачи?
При решении учитываем только результативные партии, влияющие на поединок, то есть, выигрыш в турнире (по условию задачи). При доигрывании трех виртуальных партий имеем 8 равновероятностных исходов. Результативному исходу выигрыша турнира первым игроком благоприятствует 3 случая, а результативному исходу выигрыша вторым игроком благоприятствует 1 случай (выигрыш 3-х партий подряд).
Номера
партий Номера игроков Примечание
1-й 2-й 1-й 2-й 1-й 2-й 1-й 2-й Имеем 8 равновероятных исходов.
Исходов влияющих на результат выигрыша турнира – 4 (по одному исходу в каждой из 3-х партий для 1-го игрока, и один исход выигрыш во всех трех партиях 2-м игроком).
1 партия 1 0 0 1 0 1 0 1
2 партия 1 0 0 1 0 1
3 партия 1 0 0 1
Для первого игрока каждый выигрыш в одной из партий будет результативным, для второго результативным будет выигрыш только во всех трех партиях. Имеем четыре результативных исхода влияющих на поединок. Вероятность выигрыша игроками в одной двух или трех партиях в серии из 3-х имеет биноминальное распределение, см. табл. ниже.
m – количество выигранных виртуальных партий 0 1 2 3 ∑
n – общее количество виртуальных партий равное 3
Вероятность выигрыша в каждом исходе p=0,25;
Вероятность проигрыша в каждом исходе q=0,75
Количество благоприятных исходов С_n^m=n!/m!(n-m)! 1 3 3 1 8
Выигрыш / проигрыш в единичном исходе p^m×q^(n-m) 0,422 0,141 0,047 0,016
Вероятность 〖P(i)= С〗_n^m×p^m×q^(n-m) выигрыша 0,422 0,422 0,141 0,016 1,00

Имеем количество виртуальных результативных партий и вероятности их выигрыша:
для первого игрока – 1 (одной партии) в трех с вероятностью 0,422;
для второго игрока – 3 (три партии) в трех с вероятностью 0,016,
смотри табл. выше.

Математическое ожидание результативных виртуальных партий игроками с учетом их вероятности составит для первого 1×0,422=0,42, и для второго 3×0,016=0,05.

Принимаем во внимание, что часть приза должна быть распределена с учетом уже сыгранных и зафиксированных счетом 5:3 партий. Тогда общий счет партий в поединке с их вероятностным исходом виртуальных партий составит 5,42 в соотношении к 3,05, и это будет справедливо в разделе приза игроков.

Отсюда следует, что приз прерванного турнира необходимо разделить в соотношении 1,78:1, что больше зафиксированного результата (5/3=1,67) сыгранных партий. Окончательный результат раздела не противоречит логике, поскольку будь мы уверены в том, что в процессе доигрывания выигрыш первым игроком был бы событием достоверным, раздел произошел бы в соотношении 2:1 (6:3), то есть больше, чем получили за вероятностью предполагаемого их исхода.
09.04.2015г.

Автор:  Boris Skovoroda [ 29 июл 2015, 00:40 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про двух шахматистов

Wladislav, Ваше сообщение - это копия безымянной статьи, размещённой по адресу:
http://chytayka.at.ua/publ/forex/zadach ... 4-1-0-3084.

Я решил написать рецензию на эту статью, хотя она того и не заслуживает.

Автор статьи рассматривает результативные исходы трёх проведённых фиктивных партий. "Результативному исходу выигрыша турнира первым игроком благоприятствует 3 случая, а результативному исходу выигрыша вторым игроком благоприятствует 1 случай (выигрыш 3-х партий подряд)". При этом автор наивно полагает, что эти четыре случая равновозможны, а потом забывает, что они связаны со случайным экспериментом, состоящим из трёх виртуальных партий. И находит распределение числа выигрышей первого игрока в трёх таких экспериментах, то есть если три фиктивные партии будут проведены три раза. Но этого автор статьи не понимает, как и не понимает как вычисляется математическое ожидание.

Заключение: автору статьи нельзя доверить разделение ставки.

Автор:  Wlad [ 05 янв 2016, 17:39 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про двух шахматистов

И первая безымянная статья и вторая о разделе написана мною.
При чем в статье четко отмечено что вероятностных исходов 8, а не четыре.
Четыре это результативные исходы, которые по условию задачи только и должны учитываться.
А отсюда результат Вашего критиканства. Читайте внимательно.
Жаль что Вы этого так и не поняли.

Автор:  Boris Skovoroda [ 06 янв 2016, 00:28 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про двух шахматистов

Wlad писал(а):
При чем в статье четко отмечено что вероятностных исходов 8, а не четыре.
Четыре это результативные исходы, которые по условию задачи только и должны учитываться.

Ваши результативные исходы - это случайные события, связанные с проведением трёх фиктивных партий. Почему вы считаете эти случайные события равновозможными? Вероятность того, что второй игрок выиграет три фиктивные партии, равна [math]\frac{ 1 }{ 8 },[/math] а не [math]\frac{ 1 }{ 4 }.[/math]


Автор:  bimol [ 06 янв 2016, 08:58 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про двух шахматистов

Почему вероятность победить в оставшихся партиях равная? Почему не предположить, что их отношение 5:3 ?

Автор:  michel [ 06 янв 2016, 11:09 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про двух шахматистов

Это слишком сильное предположение, потому что не учитываются ещё 40 партий, которые закончились вничью. Если подсчитать количество очков, которые набрали эти игроки в сумме,то получается отношение вероятностей равно: [math]\left( 5+\frac{ 40 }{ 2 } \right) \,\colon \left( 3+ \frac{ 40 }{ 2 } \right) =25 \,\colon 23[/math]

Автор:  bimol [ 06 янв 2016, 11:22 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про двух шахматистов

Уже нет одинаковых шансов.
Но ничьи в том мачте не считались, хоть бы и была их тысяча, за ничью давали ноль очков. Важно отношение результативных игр

Автор:  michel [ 06 янв 2016, 11:37 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про двух шахматистов

При чем тут "считались или не считались ничьи"? Речь шла о сравнении реальных вероятностей выиграть следующую партию по итогам предыдущих партий!

Страница 2 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/