Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Задача про двух шахматистов
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=36&t=16375
Страница 1 из 3

Автор:  Sunrise [ 23 апр 2012, 17:58 ]
Заголовок сообщения:  Задача про двух шахматистов

Прошу помочь с решением:
Матч за звание чемпиона мира по шахматам между равносильными в то время гроссмейстерами Карповым и Каспаровым, игравшийся до шести побед одного из участников (ничьи - не в счет), был прекращен при счете 5:3 в пользу Карпова ввиду физического истощения обоих претендентов. В какой пропорции следует разделить призовой фонд матча, если мысленно спрогнозировать его возможное продолжение?
Ответ:7:1.

Автор:  --ms-- [ 23 апр 2012, 18:30 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про двух шахматистов

А как Вы полагаете, чем должна определяться доля каждого игрока в призовом фонде?

Автор:  Sunrise [ 24 апр 2012, 18:03 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про двух шахматистов

--ms--
Видимо, вероятностью победить каждого из них при данных условиях. Т.е. у Карпова эта вероятность 7/8, у Каспарова - 1/8.

Автор:  --ms-- [ 24 апр 2012, 18:34 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про двух шахматистов

Ну да, вероятностью. Теперь надо посчитать эти вероятности (при готовом-то ответе :)). Т.е. Карпову нужна одна победа, Каспарову - три. Переберите все возможные варианты продолжения матча до чьей-нибудь победы, выберите из них победные варианты для каждого из игроков, вычислите вероятности.

Автор:  Sunrise [ 24 апр 2012, 19:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про двух шахматистов

С тем-то и прошу помочь.
Если предположить, что наличие счета 5:3 никак не влияет на исход одиночного матча между шахматистами, т.е. у обоих вероятности победы 1/2, то Карпов выигрывает с вероятностью 1/2+1/2*1/2+1/2*1/2*1/2=7/8 (выигрывает сразу + сначала проигрывает, затем выигрывает + два раза проигрывает, затем выигрывает).
Однако задача эта из темы "Формула полной вероятности. Формула Байеса. Схема независимых испытаний." Т.е., видимо, это как-то зависит от результата в 5:3, что в таком решении никак не проглядывается.


В принципе есть одна мысль.
Формула полной вероятности:
Изображение
Тогда пусть Bi - полная группа событий, где i - количество побед Каспарова до окончания матча.
P(B0)=1/2
P(B1)=1/2*1/2=1/4
P(B2)=P(B3)=1/2*1/2*1/2=1/8
Событие A заключается в том, что Карпов побеждает. Очевидно, что P(A|B0)=P(A|B1)=P(A|B2)=1 и P(A|B3)=0.
И тогда P(A)=1/2*1+1/4*1+1/8*1+1/8*0=7/8
Но тут меня тоже смущает одна вещь - в задачнике задачи расположены от простого к сложному, по крайней мере, так утверждается. И эта задача - последняя в параграфе. И такое элементарное решение. Подозрительно.

Автор:  --ms-- [ 24 апр 2012, 19:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про двух шахматистов

А что - нельзя было сразу сформулировать именно тот вопрос, который Вы собирались задать?

От результата 5:3 ничего, кроме количества оставшихся партий, зависеть не может. В силу как раз той независимости испытаний, которую Вы не находите куда приклеить. В первом Вашем решении тоже одни сплошные независимые испытания. А задачи в задачниках на такие тройные темы идут не от простого к сложному, а от формулы полной вероятности к схеме Бернулли.

Автор:  --ms-- [ 24 апр 2012, 19:41 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про двух шахматистов

Если считаете это решение подозрительно простым, рекомендую почитать в учебнике Б.В.Гнеденко "Курс теории вероятностей" дополнение "Очерк истории теории вероятностей". В частности, параграф 4 "Вклад Б.Паскаля и П.Ферма в развитие т.в.", и ещё более в частности, про задачу о разделе ставки. Очень познавательно :) Так что, если кажется просто, можно и в общей постановке решать.

Автор:  igor_vis [ 24 апр 2012, 19:45 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про двух шахматистов

чтобы выиграл каспаров, ему необходимо подряд трижды выиграть
при трех играх возможно 8 различных исходов (8=2^3) и только один из 8 устраивает каспарова и 7 - карпова
таким образом и разделен призовой фонд в соотношении 7 к 1

Автор:  zer0 [ 24 апр 2012, 20:31 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про двух шахматистов

А если учесть, что три последних результативных партии выиграл Каспаров, причем две подряд перед прекращением матча?

Автор:  Sunrise [ 24 апр 2012, 21:33 ]
Заголовок сообщения:  Re: Задача про двух шахматистов

--ms--
В тот день, когда я формулировал вопрос, он звучал именно так, увы.
Так какое же решение можно считать верным?

Страница 1 из 3 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/