Математический форум Math Help Planet
http://mathhelpplanet.com/

Найти поток вектора (решить непосредственно)
http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=35&t=56330
Страница 1 из 1

Автор:  KLANFONTAN [ 27 окт 2017, 22:59 ]
Заголовок сообщения:  Найти поток вектора (решить непосредственно)

Решить непосредственно, т. е. не используя теорему Остроградского - Гаусса.

Изображение

Автор:  slava_psk [ 30 янв 2018, 15:12 ]
Заголовок сообщения:  Re: Найти поток вектора (решить непосредственно)

Уравнение поверхности будет:

[math]x^{2}+y^{2}+(z-c)^{2}=c^{2}[/math] - сфера радиуса с, смещенная вверх по оси 0z на с.Наша поверхность состоит из нижней части сферы и плоскости z=c.
1. Поток через плоскую поверхность z=c. Эта поверхность представляет собой круг радиуса с. Вектор внешней нормали к ней будет [math]\vec{n}(0,0,1)[/math]; [math]\vec{F} \vec{n}=-(z-c)=0[/math]. Поэтому поток через эту поверхность =0.
2. Поток через нижнюю часть сферы. [math]z=c-\sqrt{c^{2}-x^{2}-y^{2} }[/math]; [math]-z_{x}^{'}=\frac{ x }{ \sqrt{c^{2}-x^{2}-y^{2} } }[/math]; [math]-z_{y}^{'}=\frac{ y }{ \sqrt{c^{2}-x^{2}-y^{2} } }[/math]. Единичный нормальный вектор к этой поверхности будет[math]\vec{n}(\frac{ x }{ c } ,\frac{ y }{ c },-\frac{ \sqrt{c^{2}-x^{2}-y^{2} } }{ c} )[/math].
Элементарная поверхность [math]dS=\frac{ dxdy }{ cos \alpha _{z} }=\frac{ cdxdy }{\sqrt{c^{2}-x^{2}-y^{2} } }[/math].

[math]\iint\limits_{ S }\vec{F}\vec{n} dS=\iint\limits_{ S } \frac{ 5x^{2}-25 }{ \sqrt{25-x^{2}-y^{2} } }dxdy[/math] Это интеграл удобнее считать в полярных координатах, он будет:

[math]\int\limits_{0}^{2 \pi }d \varphi \int\limits_{0}^{5 }\frac{ 5r^{2}cos^{2} \varphi -25 }{ \sqrt{25-r^{2} } } rd r=\frac{ 500 \pi }{ 3 }[/math]
Проверим по Остроградскому. [math]= div\vec{F}=2[/math]; [math]\iiint\limits_{ V} div\vec{F}dV[/math] =2*[math]\frac{ 2 }{ 3 } \pi c^{3}=\frac{ 500 \pi }{ 3 }[/math]

Страница 1 из 1 Часовой пояс: UTC + 3 часа [ Летнее время ]
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group
http://www.phpbb.com/